Question

8．在五邊形ADBCE中，∠ADB=∠AEC=90°，∠DAB=∠EAC，M、N、O分別為AC、AB、BC的中點(diǎn)．
（1）求證：△EMO≌△OND；
（2）若AB=AC，且∠BAC=40°，當(dāng)∠DAB等于多少時(shí)，四邊形ADOE是菱形，并證明．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)直角三角形斜邊中線等于斜邊一半得：DN=$\frac{1}{2}$AB，由中位線定理得：OM=$\frac{1}{2}$AB，則OM=DN，同理得：ON=ME，再根據(jù)外角定理和已知證明其夾角相等，則兩三角形全等；
（2）連接AO，當(dāng)∠DAB等于35°時(shí)，四邊形ADOE是菱形，如圖2，設(shè)∠DAB=x°，則∠BND=2x°，易證得OD=OE，AD=AE，因此只要AD=OD，四邊形ADOE就是菱形；即∠DAO=∠AOD，列關(guān)于x的方程解出即可．

解答 證明：（1）∵∠ADB=90°，N是AB的中點(diǎn)，
∴DN=$\frac{1}{2}$AB=AN，
∴∠ADN=∠BAD，
∵O是AB的中點(diǎn)，M是AC的中點(diǎn)，
∴OM是△ABC的中位線，
∴OM=$\frac{1}{2}$AB，OM∥AB，
∴∠OMC=∠BAC，
同理得：∠BNO=∠BAC，
∴∠BNO=∠OMC，
∵DN=$\frac{1}{2}$AB，OM=$\frac{1}{2}$AB，
∴DN=OM，
同理得：ME=ON，
∵∠BND=∠ADN+∠BAD，
∠CME=∠CAE+∠AEM，
∴∠BND=2∠BAD，∠CME=2∠CAE，
∵∠BAD=∠CAE，
∴∠BND=∠CME，
∴∠BND+∠BNO=∠CME+∠OMC，
即∠DNO=∠EMO，
∴△EMO≌△OND；
（2）當(dāng)∠DAB等于35°時(shí)，四邊形ADOE是菱形，理由是：
如圖2，連接AO，
設(shè)∠DAB=x°，則∠BND=2x°，
∵AB=AC，O是BC的中點(diǎn)，
∴AO平分∠BAC，AO⊥BC，
∵∠BAC=40°，
∴∠BAO=20°，
在Rt△ABO中，N是AB的中點(diǎn)，
∴ON=$\frac{1}{2}$AB=AN，
∴∠BAO=∠AON=20°，
∴∠BNO=40°，
由（1）得：ON=$\frac{1}{2}$AC，DN=$\frac{1}{2}$AB，
∴ON=DN，
∴∠NDO=∠NOD=$\frac{180-∠DNO}{2}$=90°-$\frac{1}{2}$（2x°+40°）=70°-x°，
∵∠ADB=∠AEC=90°，∠BAD=∠CAE，AB=AC，
∴△ADB≌△AEC，
∴AD=AE，
由（1）得：△EMO≌△OND，
∴OD=OE，
∴當(dāng)AD=OD時(shí)，四邊形ADOE是菱形，
即∠DAO=∠AOD，
x+20=70-x+20，
x=35，
∴當(dāng)∠DAB等于35°時(shí)，四邊形ADOE是菱形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直角梯形的性質(zhì)、菱形、全等三角形、等腰三角形性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，綜合運(yùn)用性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵；本題的中點(diǎn)較多，除了運(yùn)用等腰三角形三線合一的性質(zhì)外，還多次運(yùn)用了直角三角形斜邊中線等于斜邊一半的性質(zhì)．