Question

19．如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑作半圓⊙O，交BC于點D，連接AD．過點D作DE⊥AC，垂足為點E．
（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）求證：BD²=AB•CE．

Answer 1

分析 （1）連接OD，AB為⊙0的直徑得∠ADB=90°，由AB=AC，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)得AD平分BC，即DB=DC，則OD為△ABC的中位線，所以O(shè)D∥AC，而DE⊥AC，則OD⊥DE，然后根據(jù)切線的判定方法即可得到結(jié)論；
（2）由∠B=∠C，∠CED=∠BDA=90°，得出△DEC∽△ADB，得出$\frac{CE}{BD}$=$\frac{CD}{AB}$，從而求得BD•CD=AB•CE，由BD=AD，即可求得BD²=AB•CE．

解答 （1）證明：連接OD，如圖，
∵AB為⊙0的直徑，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴AD平分BC，即DB=DC，
∵OA=OB，
∴OD為△ABC的中位線，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙0的切線；
（2）證明：∵∠B=∠C，∠CED=∠BDA=90°，
∴△DEC∽△ADB，
∴$\frac{CE}{BD}$=$\frac{CD}{AB}$，
∴BD•CD=AB•CE，
∵BD=AD，
∴BD²=AB•CE．

點評 本題考查了切線的判定定理：過半徑的外端點且與半徑垂直的直線為圓的切線．也考查了等腰三角形的性質(zhì)、三角形相似的判定和性質(zhì)．