Question

14．如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，點E為底AD上一點，將△ABE沿直線BE折疊，點A落在四邊形對角線BD上的G處，EG的延長線交直線BC于點F．
（1）寫出圖中所有的相似三角形（除全等外）；
（2）選擇其中的一對相似三角形，加以證明．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)圖形即可得到圖中所有的相似三角形；
（2）根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得∠AEB=∠EBF，再根據(jù)折疊的性質(zhì)可以判定出∠AEB=∠BEG，然后得到∠EBF=∠BEF，從而判斷出△FEB為等腰三角形，再根據(jù)等角的余角相等求出∠ABG=∠EFB，然后根據(jù)等腰三角形的兩個底角相等求出∠BAG=∠FBE，然后根據(jù)兩角對應(yīng)相等，兩三角形相似，即可得到△ABG∽△BFE．

解答 解：（1）在不添加字母的情況下，圖中所有的相似三角形：
△DAB∽△DGE∽△BGF，△ABG∽△BFE；

（2）選擇：△ABG∽△BFE．
證明：∵AD∥BC，
∴∠AEB=∠EBF，
∵△EAB≌△EGB，
∴∠AEB=∠BEG，
∴∠EBF=∠BEF，
∴FE=FB，
∴△FEB為等腰三角形．
∵∠ABG+∠GBF=90°，∠GBF+∠EFB=90°，
∴∠ABG=∠EFB，
在等腰△ABG和△FEB中，∠BAG=（180°-∠ABG）÷2，∠FBE=（180°-∠EFB）÷2，
∴∠BAG=∠FBE，
∴△ABG∽△BFE．

點評 本題綜合考查了相似三角形的性質(zhì)與判定以及折疊問題，折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等．解決問題的關(guān)鍵是掌握：有兩組角對應(yīng)相等的兩個三角形相似．