Question

5．如圖，E是正方形ABCD中CD邊上的任意一點，以點A為中心，把△ADE順時針旋轉(zhuǎn)90°得△ABE₁，∠EAE₁的平分線交BC邊于點F，求證：△CFE的周長等于正方形ABCD的周長的一半．

Answer 1

分析 根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得出AE=AE₁，BE₁=DE，求出BE₁+CF=DE+CF=CD，根據(jù)SAS推出△E₁AF≌△EAF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出EF=E₁F，即可求出答案．

解答 證明：∵把△ADE順時針旋轉(zhuǎn)90°得△ABE₁，
∴AE=AE₁，BE₁=DE，
∴BE₁+CF=DE+CF=CD，
∵∠EAE₁的平分線交BC邊于點F，
∴∠E₁AF=∠EAF，
在△E₁AF和△EAF中
$\left\{\begin{array}{l}{A{E}_{1}=AE}\\{∠{E}_{1}AF=∠EAF}\\{AF=AF}\end{array}\right.$
∴△E₁AF≌△EAF（SAS），
∴EF=E₁F=BF+DE，
∴△CFE的周長=CE+CF+EF=CE+CF+BF+DE=CD+BC=正方形ABCD的周長的一半．

點評 本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，能求出△E₁AF≌△EAF是解此題的關(guān)鍵．