Question

15．如圖，在△ABC中，AB=AC，BE⊥AC于點(diǎn)E，BE=AE，AD是∠BAC的角平分線，和BE相交于點(diǎn)P，和BC邊交于點(diǎn)D，點(diǎn)F是AB邊的中點(diǎn)，連結(jié)EF，交AD于點(diǎn)Q，連結(jié)BQ．
（1）求證：△BCE≌△APE；
（2）求證：BD=$\frac{1}{2}$AP；
（3）判斷△BDQ的形狀，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）求出∠AEP=∠BEC=90°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠EBC=∠EAP，根據(jù)ASA推出△BCE≌△APE即可；
（2）根據(jù)全等得出BC=AP，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出BD=$\frac{1}{2}$BC，即可求出答案；
（3）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)求出AQ=BQ，求出∠BAE=45°，根據(jù)角平分線的定義求出∠BAD=∠ABQ=22.5°，根據(jù)三角形外角性質(zhì)求出∠BQD=45°，即可得出答案．

解答 證明：（1）如圖：

∵AD是∠BAC的角平分線，AB=AC，
∴∠BDP=90°，BD=CD，
∵BE⊥AC，
∴∠AEP=∠BEC=90°，
∵在△BPD和△APE中，∠AEP=∠BDP=90°，∠BPD=∠APE，∠PAE+∠PEA+∠APE=180°，∠BDP+∠BPD+∠EBC=180°，
∴∠EBC=∠EAP，
在△BCE和△APE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EBC=∠EAP}\\{BE=AE}\\{∠BEC=∠AEP}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△APE；

（2）∵△BCE≌△APE，
∴BC=AP，
∵BD=CD，
∴BD=$\frac{1}{2}$BC，
∴BD=$\frac{1}{2}$AP；

（3）△BDQ是等腰直角三角形，
證明：∵BE=AE，F(xiàn)是AB的中點(diǎn)，
∴EF是線段AB的垂直平分線，
∴AQ=BQ，
∴∠BAQ=∠ABQ，
∵BE=AE，∠BEA=90°，
∴∠BAE=45°，
∵AD是∠BAC的角平分線，
∴∠BAD=∠CAD=22.5°，
∵∠BAD=∠ABQ，
∴∠BAD=∠ABQ=22.5°，
∴∠BQD=22.5°×2=45°，
∵∠ADB=90°，
∴△BDQ是等腰直角三角形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，線段垂直平分線性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)和判定，等腰直角三角形性質(zhì)的應(yīng)用，能綜合運(yùn)用定理進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵，注意：①全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，②全等三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊相等．