Question

5．如圖，已知△ABC中，∠B=∠C，AB=AC=12cm，BC=8cm，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)．如果點(diǎn)P在線段BC上以2cm/s的速度由B點(diǎn)向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q在線段CA上由點(diǎn)C向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)．
（1）若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度相等，經(jīng)過(guò)1秒后，△BPD與△CQP是否全等？請(qǐng)說(shuō)明理由．
（2）若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度不相等，當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為多少時(shí)，能夠使△BPD與△CQP全等？

Answer 1

分析 （1）△BPD≌△CPQ，利用已知條件求出BP=CQ，PC=BD．利用SAS證明△BPD≌△CQP．
（2）由點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度不相等，所以BP≠CQ，又由△BPD與△CPQ全等，∠B=∠C，得到BP=PC=4cm，CQ=BD=6cm，從而求出點(diǎn)P，點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為4÷2=2秒，即可解答．

解答 解：（1）△BPD≌△CPQ，
理由如下∵t=1s，
∴BP=CQ=2×1=2cm，
∵AB=12cm，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，
∴BD=6cm．
又∵PC=BC-BP，BC=8cm，
∴PC=8-2=6cm，
∴PC=BD．
又∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
在△BPD和△CPQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{BP=CQ}\\{∠B=∠C}\\{BD=PC}\end{array}\right.$
∴△BPD≌△CQP．
（2）∵點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度不相等，
∴BP≠CQ，
又∵△BPD與△CPQ全等，∠B=∠C，
∴BP=PC=4cm，CQ=BD=6cm，
∴點(diǎn)P，點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為4÷2=2s，
∴Q點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度為6÷2=3（cm/s）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了全等三角形全等的判定，涉及到等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．判定兩個(gè)三角形全等，先根據(jù)已知條件或求證的結(jié)論確定三角形，然后再根據(jù)三角形全等的判定方法，看缺什么條件，再去證什么條件．