Question

17．如圖1，在銳角△ABC中，AD是BC邊上的高，BC=6，AD=4，動點(diǎn)P沿線段AD從點(diǎn)A向點(diǎn)D運(yùn)動，過點(diǎn)P作EF∥BC，EF交AB于E．交AC于F，以EF為邊向下作正方形EFGH．
（1）設(shè)AP長為x，利用相似三角形的性質(zhì)．可用含x的代數(shù)式表示正方形的邊長為EF=$\frac{3}{2}$x；如圖2，當(dāng)x=$\frac{8}{5}$時(shí)，GH恰好落在邊BC上，此時(shí)EF長為$\frac{12}{5}$；
（2）如圖3，當(dāng)GH在△ABC外部，且正方形EFGH與△ABC公共部分的面積為6時(shí)，求點(diǎn)P的位置（即求AP的值）

Answer 1

分析 （1）由EF∥BC，推出△AEF∽△ABC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到$\frac{AP}{AD}=\frac{EF}{BC}$，求出EF=$\frac{3}{2}$x，當(dāng)GH恰好落在邊BC上時(shí)，得到AP+PD=AP+EF=AD，列方程x+$\frac{3}{2}$x=4，解得：x=$\frac{8}{5}$，即可得到結(jié)論；
（2）設(shè)EH交BC于G，則EM=PD=AD-AP=4-x，根據(jù)EF•EM=6，于是得到方程$\frac{3}{2}$x•（4-x）=6，即可得到AP=2，當(dāng)AP=2時(shí)，AP＜AD，點(diǎn)P在△ABC的內(nèi)部，滿足題意．

解答 解：（1）∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴$\frac{AP}{AD}=\frac{EF}{BC}$，
∴EF=$\frac{3}{2}$x，
當(dāng)GH恰好落在邊BC上時(shí)，
AP+PD=AP+EF=AD，
∴x+$\frac{3}{2}$x=4，
解得：x=$\frac{8}{5}$，
∴EF=$\frac{3}{2}$x=$\frac{12}{5}$；
故答案為：$\frac{3}{2}$x，$\frac{8}{5}$，$\frac{12}{5}$；

（2）設(shè)EH交BC于G，則EM=PD=AD-AP=4-x，
∵正方形EFGH與△ABC公共部分的面積為6，
∴EF•EM=6，
∴$\frac{3}{2}$x•（4-x）=6，
解得：x=2，
即AP=2，
當(dāng)AP=2時(shí)，AP＜AD，點(diǎn)P在△ABC的內(nèi)部，滿足題意．

點(diǎn)評 本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．