Question

18．已知：如圖，正方形ABCD中，E是AB上一點，F(xiàn)G⊥DE于點H．
（1）求證：FG=DE．
（2）求證：FD+EG≥$\sqrt{2}$FG．

Answer 1

分析 （1）過點A作AM∥FG交BC于M，如圖，由四邊形AMGF為平行四邊形得到AM=FG，再利用等角的余角相等得到∠ADE=∠BAM，則可證明△ABM≌△DAE，于是得到AM=DE，所以DE=FG；
（2）過點F作FN∥DE，過E點作EN∥AD，它們相交于點N，如圖，易得四邊形DFNE為平行四邊形，所以DF=EN，F(xiàn)N=DE，再證明△FNG為等腰直角三角形，則NG=$\sqrt{2}$FG，然后利用三角形三邊的關(guān)系
得到EN+EG≥NG（當(dāng)點N、E、G共線時取等號），于是有DF+EG≥$\sqrt{2}$FG．

解答 證明：（1）過點A作AM∥FG交BC于M，如圖，則四邊形AMGF為平行四邊形，
∴AM=FG，
∵DE⊥FG，
∴DE⊥AM，
∴∠ADE=∠BAM，
在△ABM和△DAE中
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAM=∠ADE}\\{AB=DA}\\{∠ABM=∠DAE}\end{array}\right.$，
∴△ABM≌△DAE，
∴AM=DE，
∴DE=FG；
（2）過點F作FN∥DE，過E點作EN∥AD，它們相交于點N，如圖，則四邊形DFNE為平行四邊形，則DF=EN，F(xiàn)N=DE，
∵DE⊥FG，
∴FN⊥FG，
∴∠NFG=90°，
∵DE=FN，DE=FG，
∴FG=FN，
∴△FNG為等腰直角三角形，
∴NG=$\sqrt{2}$FG，
而EN+EG≥NG（當(dāng)點N、E、G共線時取等號），
∴DF+EG≥$\sqrt{2}$FG．

點評 本題考查了正方形的性質(zhì)：正方形的四條邊都相等，四個角都是直角；正方形的兩條對角線相等，互相垂直平分，并且每條對角線平分一組對角．也考查了全等三角形的判定與性質(zhì)．解決本題的關(guān)鍵是構(gòu)建△ENG，利用三角形三邊的關(guān)系解決（2）小題．