Question

5．如圖，AB是⊙O的直徑，點C為⊙O上一點，OF⊥BC于點F，交⊙O于點E，AE與BC交于點H，點D為OE的延長線上一點，且∠ODB=∠AEC．
（1）求證：BD是⊙O的切線；
（2）若EH=2，AH=6，求CE的長．

Answer 1

分析 （1）欲證明BD是⊙O的切線，只要證明AB⊥BD即可；
（2）只要證明△CEH∽△AEC，可得$\frac{CE}{EA}$=$\frac{EH}{CE}$，推出CE²=EH•EA=16，由此即可解決問題；

解答 解：（1）∵∠ODB=∠AEC，∠AEC=∠ABC，
∴∠ODB=∠ABC，
∵OF⊥BC，
∴∠BFD=90°，
∴∠ODB+∠DBF=90°，
∴∠ABC+∠DBF=90°，即∠OBD=90°，
∴BD⊥OB，
∴BD是⊙O的切線

（2）連接AC，∵OF⊥BC，
∴$\widehat{BE}$=$\widehat{CE}$，
∴∠ECB=∠CAE，又∵∠HEC=∠CEA，
∴△CEH∽△AEC，
∴$\frac{CE}{EA}$=$\frac{EH}{CE}$，
∴CE²=EH•EA=16，
∴CE=4

點評 本題考查切線的判定和性質(zhì)、勾股定理、垂徑定理、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題，正確尋找相似三角形解決問題．