Question

14．已知：拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，-2）與y軸交于點(diǎn)C（0，-$\frac{3}{2}$），與x軸交于A、B兩點(diǎn)（A在B的左邊）．
（1）求此拋物線的表達(dá)式；
（2）點(diǎn)P是線段OB上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B重合），點(diǎn)Q在線段BM上移動(dòng)且∠MPQ=45°，設(shè)線段OP=x，MQ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$y₁，求y₁與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；
（3）①在（2）的條件下是否存在點(diǎn)P，使△PQB是PB為底的等腰三角形？若存在試求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在說明理由．
②在（1）中拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)F，使△BMF是等腰三角形，若存在直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)F的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）設(shè)拋物線的表達(dá)式為y=a（x-1）²-2，將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入即可得出答案；
（2）先證明△MPQ∽△MBP，根據(jù)相似的性質(zhì)列等式，求y₁與x的函數(shù)關(guān)系式；
（3）①假設(shè)存在滿足條件的P點(diǎn)，根據(jù)條件△PQB是PB為底的等腰三角形，作PB的垂直平分線交BM于Q，QP=QB．求出P點(diǎn)和Q點(diǎn)坐標(biāo)，；②根據(jù)△BMF是等腰三角形，只要點(diǎn)F使得該三角形的兩邊相等即可．

解答 解：（1）∵拋物線的頂點(diǎn)為M（1，-2）可設(shè)y=a（x-1）²-2，
由點(diǎn)（0，-$\frac{3}{2}$）得：a-2=-$\frac{3}{2}$，
∴a=$\frac{1}{2}$．
∴$\frac{MN}{MB}$=$\frac{MQ}{MP}$，
即y=$\frac{1}{2}$x²-x-$\frac{3}{2}$；

（2）在x₂=3中，由y=0，得0=$\frac{1}{2}$x²-x-$\frac{3}{2}$，
解得：x₁=-1，x₂=3，
∴A為（-1，0），B為（3，0）．
∵M(jìn)（1，-2），
∴∠MBO=45°，MB=2$\sqrt{2}$，
∴∠MPQ=45°∠MBO=∠MPQ，
又∵∠M=∠M，
∴△MPQ∽△MBP，
∴$\frac{MP}{MB}$=$\frac{MQ}{MP}$，
∴MP²=MB•MQ，
即2²+（x-1）²=2$\sqrt{2}•$$\frac{\sqrt{2}}{2}{y}_{1}$，
∴y₁=$\frac{1}{2}$（x-1）²+2，（0≤x＜3）．

（3）①存在點(diǎn)Q，使QP=QB，即△PQB是以PB為底的等腰三角形，
作PB的垂直平分線交BM于Q，則QP=QB．
∴∠QPB=∠MBP=45°
又∵∠MPQ=45°，
∴此時(shí)MP⊥x軸，
∴P為（1，0），
∴PB=2．
∴Q的坐標(biāo)為（2，-1），
②如圖，使△BMF是等腰三角形的F點(diǎn)有：
∵M(jìn)（1，-2），B（3，0），
∴BM=2$\sqrt{2}$，
當(dāng)MF=BM=2$\sqrt{2}$時(shí)，F(xiàn)₁（1，-2-2$\sqrt{2}$），
當(dāng)MF=BF時(shí)，F(xiàn)₂（1，0），
當(dāng)MF=BM=2$\sqrt{2}$時(shí)，F(xiàn)₃（1，-2+2$\sqrt{2}$），
當(dāng)BF=BM=2$\sqrt{2}$時(shí)，F(xiàn)₄（1，2）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的知識(shí)，是一道綜合題，還考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，求函數(shù)的解析式，等腰直角三角形的性質(zhì)，注意對(duì)各部分知識(shí)的熟練掌握以便靈活應(yīng)用．