Question

9．如圖，等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D為AC邊上一點，以BD為邊作正方形BDEF．

（1）求證：AE⊥AB；
（2）如圖2，P為正方形BDEF的對角線的中點，直線CP分別交BD、EF于M、N兩點．
①求證：△BCM∽△PFN；
②若$\frac{DC}{AD}=\frac{2}{3}$，則$\frac{EN}{FN}$=$\frac{5}{2}$．（直接寫出結(jié)果，不需要過程）

Answer 1

分析 （1）連接BE，由正方形的性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)可得∠EBA=∠DBC，且$\frac{EB}{DB}$=$\frac{AB}{BC}$=$\sqrt{2}$，可證明△EBA∽△DBC，則可知AE⊥AB；
（2）①連接BE、AP，可證明PC垂直平分AB，可求得∠CBG=∠MCB=45°，再結(jié)合正方形的性質(zhì)可得∠CMB=∠PNF，可證明△BCM∽△PFN；②在△BCD中，由角平分線的性質(zhì)可得$\frac{BC}{CD}$=$\frac{BM}{DM}$，結(jié)合正方形的性質(zhì)可知$\frac{BM}{DM}$=$\frac{EN}{FN}$，可求得答案．

解答 （1）證明：
如圖1，連接BE，

在正方形EDBF中，ED=BD，∠EBD=45°，
在等腰Rt△ABC中，AC=BC，∠ABC=45°，
∴∠EBA=∠DBC，且$\frac{EB}{DB}$=$\frac{AB}{BC}$=$\sqrt{2}$，
∴△EBA∽△DBC，
∴∠EAB=∠DCB=90°，
∴AE⊥AB；
（2）①證明：
如圖2，連接BE、AP，

∵在正方形BDEF中，DF、BE互相平分，
∴BE過點P，
由（1）知∠EAB=90°，則在Rt△EAB中，點P為BE中點，
∴AP=BP，
∵AC=BC，
∴PC垂直平分AB，
∴∠CGB=90°，
∵∠CBG=45°，
∴∠MCB=45°，
∵在正方形BDEF中，BD∥EF，
∴∠CMB=∠PNF，
∵∠BCM=∠PFN=45°，∠CMB=∠PNF，
∴△BCM∽△PFN；
②由①可知CM平分∠DCB，
∴$\frac{BC}{CD}$=$\frac{BM}{DM}$，
在△DMP和△FNP中
$\left\{\begin{array}{l}{∠DPM=∠FPN}\\{PD=PF}\\{∠PDM=∠PFN}\end{array}\right.$
∴△DMP≌△FNP（ASA），
∴DM=FN，則BM=EN，
∴$\frac{BM}{DM}$=$\frac{EN}{FN}$，
∵$\frac{CD}{AD}$=$\frac{2}{3}$，
∴$\frac{AC}{CD}$=$\frac{5}{2}$，
又AC=BC，
∴$\frac{BC}{CD}$=$\frac{5}{2}$，
∴$\frac{EN}{FN}$=$\frac{5}{2}$，
故答案為：$\frac{5}{2}$．

點評 本題主要考查相似三角形的判定和性質(zhì)及正方形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)等知識的綜合應(yīng)用．在（1）中連接BE構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)鍵，在（2）中證得PC垂直平分AB是解題的關(guān)鍵．本題目綜合性質(zhì)較強，考查知識點較多，難度較大，特別是在復(fù)雜圖形中尋找出相似三角形，更是考查了對知識的熟練掌握．