Question

2．如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2BC，點(diǎn)E從A點(diǎn)出發(fā)，沿折線AB-BC運(yùn)動(dòng)，到點(diǎn)C停止，點(diǎn)E在AB上以$\sqrt{5}$cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，在BC上以1cm/s的速度運(yùn)動(dòng)；當(dāng)點(diǎn)E不與點(diǎn)A重合時(shí)，過點(diǎn)E做EF⊥AC于點(diǎn)F，以EF為邊作正方形EFGH，使點(diǎn)G落在線段AF上．設(shè)E點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x（s），正方形EFGH與△ABC重合部分的面積為y（cm²），y與x的函數(shù)圖象如圖2所示．（0＜x≤m，m≤x≤$\frac{16}{3}$，$\frac{16}{3}$≤x＜n三段的函數(shù)解析式不同）．
（1）求AB的長(zhǎng)及m的值；
（2）在E的運(yùn)動(dòng)過程中，求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先確定圖象中m和$\frac{16}{3}$時(shí)，點(diǎn)E的位置：①當(dāng)E運(yùn)動(dòng)到B時(shí)，x=m，②當(dāng)H在AB上時(shí)，x=$\frac{16}{3}$，如圖1，從圖1入手，利用三角形相似列比例式可得a與b的關(guān)系，根據(jù)“當(dāng)H在AB上時(shí)，x=$\frac{16}{3}$”列式可得a的值，從而得AB的值，根據(jù)路程除以速度可得時(shí)間m的值；
（2）①當(dāng)0≤x≤4時(shí)，即點(diǎn)E在AB上時(shí)，如圖2，②當(dāng)4＜x≤$\frac{16}{3}$時(shí)，E在BC上，F(xiàn)與C重合，如圖3，③當(dāng)$\frac{16}{3}$＜x≤8時(shí)，E在BC上，如圖4，分別計(jì)算正方形EFGH與△ABC重合部分的面積即可．

解答 解：（1）當(dāng)E運(yùn)動(dòng)到B時(shí)，x=m，
當(dāng)H在AB上時(shí)，x=$\frac{16}{3}$，如圖1，
設(shè)BC=a，正方形EFGH的邊長(zhǎng)為b，則AC=2a，
∵HE∥AC，
∴△BHE∽△BAC，
∴$\frac{HE}{AC}=\frac{BE}{BC}$，
∴$\frac{HE}{2a}=\frac{a-b}{a}$，
∴HE=b=2（a-b），
∴b=$\frac{2}{3}a$，
∴BE=$\frac{1}{3}$a，
由勾股定理得：AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{（2a）^{2}+{a}^{2}}$=$\sqrt{5}$a，
當(dāng)H在AB上時(shí)，E在BC上，則$\frac{\sqrt{5}a}{\sqrt{5}}$+$\frac{\frac{1}{3}a}{1}$=$\frac{16}{3}$，
a=4，
∴AB=4$\sqrt{5}$，
∴m=$\frac{4\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$=4；
（2）①當(dāng)0≤x≤4時(shí)，即點(diǎn)E在AB上時(shí)，如圖2，
AE=$\sqrt{5}$x，
sin∠A=$\frac{BC}{AB}=\frac{EF}{AE}$，
∴$\frac{a}{2a}=\frac{EF}{\sqrt{5}x}$，
∴EF=x，
∴AF=2x，
∴AG=AF-FG=2x-x=x，
∴DG=$\frac{1}{2}$x，
∴y=S_{正方形EFGH}-S_△DHE=x²-$\frac{1}{2}$$•\frac{1}{2}x•x$=$\frac{3}{4}{x}^{2}$；
②當(dāng)4＜x≤$\frac{16}{3}$時(shí)，E在BC上，F(xiàn)與C重合，如圖3，
BE=x-4，
∴PE=2BE=2（x-4），
EC=4-（x-4）=8-x，
∴AG=AC-CG=8-（8-x）=x，
∴DG=$\frac{1}{2}$x，
∴DH=EC-DG=8-x-$\frac{1}{2}$x=8-$\frac{3}{2}$x，
PH=EC-PE=8-x-2（x-4）=16-3x，
∴y=S_{正方形EFGH}-S_△DHP=（8-x）²-$\frac{1}{2}$$（8-\frac{3}{2}x）（16-3x）$=-$\frac{5}{4}{x}^{2}+8x$；
③當(dāng)$\frac{16}{3}$＜x≤8時(shí)，E在BC上，如圖4，
EC=8-x，
∴y=S_{正方形EFGH}=（8-x）²=x²-16x+64；
綜上所述，y與x的函數(shù)關(guān)系式為：y=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3}{4}{x}^{2}（0＜x≤4）}\\{-\frac{5}{4}{x}^{2}+8x（4≤x≤\frac{16}{3}）}\\{{x}^{2}-16x+64（\frac{16}{3}≤x≤8）}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了動(dòng)點(diǎn)問題的圖象問題，此類問題較難，理解圖形與圖象的關(guān)系是關(guān)鍵，第二問計(jì)算正方形EFGH與△ABC重合部分的面積時(shí)，注意分類討論，畫出圖形是關(guān)鍵．