Question

7．如圖，直線l₁∥l₂，線段AB在l₁上，BC⊥l₁交l₂于點(diǎn)C，且AB=BC=2cm，點(diǎn)P在點(diǎn)B、C之間，過點(diǎn)P的直線分別交l₂、l₁于點(diǎn)D、E；已知∠CDP=45°．
（1）求證：△ABP≌△CBE；
（2）求證：AP⊥CE；
（3）若AP⊥BD，求線段CD的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)已知條件，AB=BC，∠ABP=∠CBE，所以欲△ABP≌△CBE只要證明PB=BE即可．
（2）延長(zhǎng)AP交CE于H，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠PAB=∠ECB，由等量代換得到∠PAB+∠AEH=90°，結(jié)論得證；
（3）證得四邊形BDCE是平行四邊形，由平行四邊形的性質(zhì)得到P是BC的中點(diǎn)，DC=BE，于是CD=BE=BP=$\frac{1}{2}$BC=1cm．

解答 （1）證明：∵CD∥BE，
∴∠BEP=∠CDP=45°，
∵∠PBE=90°，
∴∠BPE=∠BEP=45°，
∴PB=BE，
在△ABP和△CBE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠ABP=∠CBE}\\{BP=BE}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△CBE；
（2）證明：延長(zhǎng)AP交CE于H，
∵△ABP≌△CBE，
∴∠PAB=∠ECB，
∴∠PAB+∠AEH=∠ECB+∠AEH=90°，
∴AP⊥CE；
（3）解：∵AP⊥BD，AP⊥CE，
∴CE∥BD，
∵l₁∥l₂，
∴四邊形BDCE是平行四邊形，
∴P是BC的中點(diǎn)，DC=BE，
∴CD=BE=BP=$\frac{1}{2}$BC=1cm．

點(diǎn)評(píng) 本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、平行四邊形的判定和性質(zhì)，利用三角形全等是解題的關(guān)鍵，屬于中考常考題型．