Question

2．已知，如圖（1），△ABC、△AED均為等腰Rt△（其頂點(diǎn)A、B、E重合），且∠BAC=∠AED=90°，O為BC的中點(diǎn)，F(xiàn)為AD的中點(diǎn)，連OF．
（1）如圖（1），此時(shí)$\frac{OF}{EC}$的值=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
將△AED繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，如圖（2），此時(shí)$\frac{OF}{EC}$的值=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
（2）將△AED繞點(diǎn)A繼續(xù)旋轉(zhuǎn)如圖（3），此時(shí)$\frac{OF}{EC}$的值又是多少？試證明你的結(jié)論？
（3）設(shè)在旋轉(zhuǎn)過程中，邊AD、AE交線段BC于M、N，如圖（4），將△ABM沿直線AD折疊，設(shè)B的對應(yīng)點(diǎn)為B₁，連NB₁，請完成圖（4），并判斷△MB₁N的形狀直角三角形（不需證明）．

Answer 1

分析 （1）如圖1，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)求得即可；如圖2，根據(jù)等腰直角三角形斜邊中線的性質(zhì)求得AF=AO，進(jìn)而通過證得△AFO∽△AEC，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例即可求得；
（2）如圖3，通過證得△AFO∽△AEC，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例即可求得；
（3）如圖4，根據(jù)折疊的性質(zhì)和證得△AB₁N≌△ACN得出∠AB₁N=∠C=45°，即可證得△MB₁N是直角三角形．

解答 解：（1）如圖1，
∵四邊形ADEC是平行四邊形，O為BC的中點(diǎn)，F(xiàn)為AD的中點(diǎn)，
∴OF=AC，
∴$\frac{OF}{EC}$=$\frac{AC}{BC}$，
∵△ABC為等腰Rt△，且∠BAC=90°，
∴$\frac{OF}{EC}$=$\frac{AC}{BC}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
如圖2，在等腰Rt△ADE中，F(xiàn)為AD的中點(diǎn)，
∴AF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AE，
在等腰Rt△ABC中，O為BC的中點(diǎn)，
∴AO=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AC，∠BAO=∠CAO=45°，
∵AE=AC，
∴AF=AO，
∴△AFO∽△AEC，
∴$\frac{OF}{EC}$=$\frac{AO}{AC}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
故答案為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$；

（2）如圖3，連接AO，
在等腰Rt△ADE中，F(xiàn)為AD的中點(diǎn)，
∴AF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AE，
在等腰Rt△ABC中，O為BC的中點(diǎn)，
∴AO=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AC，∠BAO=∠CAO=45°，
∵∠DAE=45°，
∴∠DAE=∠CAO，
∴∠DAE-∠EAO=∠CAO-∠EAO，
即∠DAO=∠CAE，
∵AE=AC，
∴AF=AO，
∴△AFO∽△AEC，
∴$\frac{OF}{EC}$=$\frac{AO}{AC}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；

（3）如圖4，根據(jù)題意AB=AB₁，∠AB₁M=∠ABM=45°，∠BAD=∠B₁AD，
∵∠DAE=45°，
∴∠BAD+∠CAE=45°，
∴∠B₁AD+∠CAE=45°，
∵∠DAE=∠B₁AM+∠B₁AN，
∴∠B₁AN=∠CAN，
∵AB=AB₁，AB=AC，
∴AB₁=AC，
在△AB₁N和△ACN中
$\left\{\begin{array}{l}{A{B}_{1}=AC}\\{∠{B}_{1}AN=∠CAN}\\{AN=AN}\end{array}\right.$，
∴△AB₁N≌△ACN（SAS），
∴∠AB₁N=∠C=45°，
∴∠MB₁N=AB₁M+AB₁N=45°+45°=90°，
∴△MB₁N是直角三角形；
故答案為：直角三角形．

點(diǎn)評 本題是幾何變換綜合題，考查了平行四邊形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形相似的判定和性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，作出輔助線構(gòu)建相似三角形是解題的關(guān)鍵．