Question

11．如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，BD是中線，AE⊥BD，交BC于點E，交BD于點G，BC的中點為F，連接FG
（1）求證：BG=4GD；
（2）試猜想∠BGF與∠C是否相等？若相等，請加以證明；若不相等，請說明理由；
（3）猜想并證明線段BE與EC之間的數(shù)量關(guān)系．

Answer 1

分析 （1）由∠BAD=90°，AE⊥BD，得到AB²=BG•BD，AD²=GD•BD，根據(jù)BD是中線，得到AD=$\frac{1}{2}$AC，又AB=AC，所以AC²=BG•BD，$\frac{1}{4}A{C}^{2}=GD•BD$，即BG•BD=4GD•BD，得到BG=4GD．
（2）∠BGF=∠C；連接AF，由AB=AC，BC的中點為F，根據(jù)“三線合一”得到AF⊥BC，所以AB²=BF•BC，由AB²=BG•BD，得到BF•BC=BG•BD，即$\frac{BC}{BD}=\frac{BG}{BF}$，證明△BCD∽△BGF，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到∠BGF=∠C．
（3）延長BA到點H，使AH=AD，連接CH，證明△ABD≌△ACH，得到∠ABD=∠ACH，證明∠ACH=∠EAC，得到AE∥HC，可得$\frac{BA}{AH}=\frac{BE}{EC}$，由BD是中線，所以AB=AC=2AD，可得$\frac{BA}{AH}=\frac{AB}{AD}=\frac{2AD}{AD}=2$，所以$\frac{BE}{EC}$=2，故BE=2EC．

解答 解：（1）∵∠BAD=90°，AE⊥BD，
∴AB²=BG•BD，AD²=GD•BD，
∵BD是中線，
∴AD=$\frac{1}{2}$AC
∵AB=AC，
∴AC²=BG•BD，$\frac{1}{4}A{C}^{2}=GD•BD$，
∴BG•BD=4GD•BD．
∴BG=4GD．
（2）∠BGF=∠C
如圖1，連接AF，

∵AB=AC，BC的中點為F，
∴AF⊥BC，
∴AB²=BF•BC，
∵AB²=BG•BD，
∴BF•BC=BG•BD，
即$\frac{BC}{BD}=\frac{BG}{BF}$，
∵∠DAC=∠FBG，
∴△BCD∽△BGF，
∴∠BGF=∠C．
（3）如圖2，延長BA到點H，使AH=AD，連接CH，

在△ABD和△ACH中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAH=9{0}^{°}}\\{AD=AH}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACH，
∴∠ABD=∠ACH，
∵AE⊥BD，
∴∠ABD+∠BAG=90°，
∵∠EAC+∠BAG=90°，
∴∠ABD=∠EAC，
∴∠ACH=∠EAC
∴AE∥HC，
∴$\frac{BA}{AH}=\frac{BE}{EC}$，
∵BD是中線
∴AB=AC=2AD
∴$\frac{BA}{AH}=\frac{AB}{AD}=\frac{2AD}{AD}=2$，
∴$\frac{BE}{EC}$=2，
故BE=2EC．

點評 該題主要考查了相似三角形的判定及其性質(zhì)的應(yīng)用問題；解題的關(guān)鍵是作輔助線，靈活運用有關(guān)定理來分析、判斷、推理或解答．