Question

14．如圖，ABCD是一張邊長(zhǎng)為4cm的正方形紙片，E、F分別為AB、CD上的點(diǎn)，且BE=CF，連接EF，沿過點(diǎn)D的直線將∠A翻折，使得點(diǎn)A落在EF上的點(diǎn)H處，折痕交AE于點(diǎn)G，當(dāng)BH最短時(shí)，EG=4-4$\sqrt{2}$cm．

Answer 1

分析 根據(jù)BH+DH≥BD，DH=DA=4，所以當(dāng)B、H、D在同一直線上BH最小，即H在對(duì)角線BD上，由DG平分∠ADB，所以$\frac{AG}{BG}=\frac{AD}{BD}$=$\frac{4}{4\sqrt{2}}$=$\frac{1}{\sqrt{2}}$，解得AG=4÷（1+$\sqrt{2}$）=4$\sqrt{2}$-4，則∠A=∠DHG=90°，∠ADH=45°，得到∠AGH=135°，所以∠EGH=45°，得到△EGH是等腰直角三角形，則EG=GH÷$\sqrt{2}$=AG÷$\sqrt{2}$=（4$\sqrt{2}$-4）=4-2$\sqrt{2}$．

解答 解：∵BH+DH≥BD，DH=DA=4，
∴當(dāng)B、H、D在同一直線上BH最小，
即H在對(duì)角線BD上，
在Rt△ABD中，BD=$\sqrt{A{B}^{2}+A{D}^{2}}=\sqrt{{4}^{2}+{4}^{2}}=4\sqrt{2}$，
又∠GDA=∠GDH，
∴DG平分∠ADB，
∴$\frac{AG}{BG}=\frac{AD}{BD}$=$\frac{4}{4\sqrt{2}}$=$\frac{1}{\sqrt{2}}$，
∴$\frac{AG}{4-AG}=\frac{1}{\sqrt{2}}$
AG=4÷（1+$\sqrt{2}$）=4$\sqrt{2}$-4，
則∠A=∠DHG=90°，∠ADH=45°，
∴∠AGH=135°，
∴∠EGH=45°，
∴△EGH是等腰直角三角形，
∴EG=GH÷$\sqrt{2}$=AG÷$\sqrt{2}$=（4$\sqrt{2}$-4）÷$\sqrt{2}$=4-2$\sqrt{2}$．
故答案為：4-2$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正方形的性質(zhì)、圖形的翻折問題、角平分線的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是當(dāng)B、H、C在同一直線上BH最小，即H在對(duì)角線BD上．