Question

11．如圖，拋物線y=-x²+2x+3與x軸相交于A、B兩點（點A在點B的左側(cè)），與y軸相交于點C，頂點為D．
（1）直接寫出A、B、C三點的坐標和拋物線的對稱軸；
（2）連接BC，與拋物線的對稱軸交于點E，點P為線段BC上的一個動點，過點P作PF∥DE交拋物線于點F，設點P的橫坐標為m；
①用含m的代數(shù)式表示線段PF的長，并求出當m為何值時，四邊形PEDF為平行四邊形？
②設△BCF的面積為S，求S與m的函數(shù)關系式．
（3）在拋物線上是否存在點G，使△DGB為直角三角形？若存在，請直接寫出G點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）已知了拋物線的解析式，當y=0時可求出A，B兩點的坐標，當x=0時，可求出C點的坐標．根據(jù)對稱軸x=-$\frac{2a}$可得出對稱軸的解析式．
（2）PF的長就是當x=m時，拋物線的值與直線BC所在一次函數(shù)的值的差．可先根據(jù)B，C的坐標求出BC所在直線的解析式，然后將m分別代入直線BC和拋物線的解析式中，得出兩函數(shù)的值的差就是PF的長．根據(jù)直線BC的解析式，可得出E點的坐標，根據(jù)拋物線的解析式可求出D點的坐標，然后根據(jù)坐標系中兩點的距離公式，可求出DE的長，然后讓PF=DE，即可求出此時m的值．
（3）可將三角形BCF分成兩部分來求：
一部分是三角形PFC，以PF為底邊，以P的橫坐標為高即可得出三角形PFC的面積．
一部分是三角形PFB，以PF為底邊，以P、B兩點的橫坐標差的絕對值為高，即可求出三角形PFB的面積．
然后根據(jù)三角形BCF的面積=三角形PFC的面積+三角形PFB的面積，可求出關于S、m的函數(shù)關系式．

解答 解：（1）令y=0，則-x²+2x+3=-（x+1）（x-3）=0，
解得x=-1或x=3，則A（-1，0），B（3，0）．
拋物線的對稱軸是：直線x=1．
令x=0，則y=0，則C（0，3）．
綜上所述，A（-1，0），B（3，0），C（0，3），拋物線的對稱軸是x=1；

（2）①設直線BC的函數(shù)關系式為：y=kx+b．
把B（3，0），C（0，3）分別代入得：$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=0}\\{b=3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=3}\end{array}\right.$．
所以直線BC的函數(shù)關系式為：y=-x+3．
當x=1時，y=-1+3=2，
∴E（1，2）．
當x=m時，y=-m+3，
∴P（m，-m+3）．
在y=-x²+2x+3中，當x=1時，y=4．
∴D（1，4）
當x=m時，y=-m²+2m+3，
∴F（m，-m²+2m+3）
∴線段DE=4-2=2，
線段PF=-m²+2m+3-（-m+3）=-m²+3m
∵PF∥DE，
∴當PF=ED時，四邊形PEDF為平行四邊形．
由-m²+3m=2，
解得：m₁=2，m₂=1（不合題意，舍去）．
因此，當m=2時，四邊形PEDF為平行四邊形．
②設直線PF與x軸交于點M，由B（3，0），O（0，0），
可得：OB=OM+MB=3．
∵S=S_△BPF+S_△CPF
即S=$\frac{1}{2}$PF•BM+$\frac{1}{2}$PF•OM=$\frac{1}{2}$PF•（BM+OM）=$\frac{1}{2}$PF•OB．
∴S=$\frac{1}{2}$×3（-m²+3m）=-$\frac{3}{2}$m²+$\frac{9}{2}$m（0≤m≤3）．

（3）∵點B（3，0），D（1，4），
∴直線BD的解析式為y=-2x+6，
Ⅰ：當以BD為直角邊且B為頂點時，設直線BG₁的解析式為y=$\frac{1}{2}$x+b，
∵經(jīng)過B（3，0），
∴直線BG₁的解析式為y=$\frac{1}{2}$x-$\frac{3}{2}$，
∴$\frac{1}{2}$x-$\frac{3}{2}$=-x²+2x+3，
解得：x=-$\frac{3}{2}$或x=3（舍去），
將x=-$\frac{3}{2}$代入y=-x²+2x+3得y=-$\frac{9}{4}$，
∴G₁的坐標為（-$\frac{3}{2}$，-$\frac{9}{4}$）；

Ⅱ：當以BD為直角邊且D為頂點時，設直線BG₂的解析式為y=$\frac{1}{2}$x+b，
∵經(jīng)過D（1，4），
∴直線BG₂的解析式為y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{7}{2}$，
∴$\frac{1}{2}$x+$\frac{7}{2}$=-x²+2x+3，
解得：x=$\frac{1}{2}$或x=1（舍去），
將x=$\frac{1}{2}$代入y=-x²+2x+3得y=$\frac{15}{4}$，
∴G₂的坐標為（$\frac{1}{2}$，$\frac{15}{4}$）；

Ⅲ：當以BD為斜邊時，設G₃的坐標為（x，-x²+2x+3），
如圖，則BM=3-x，G₃M=-x²+2x+3，NG₃=4-（-x²+2x+3）=x²-2x+1，DN=1-x，
∵BG₃²+G₃D²=BD²，
即：BM²+G₃M²+NG₃²+DN²=BD²，
∴（3-x）²+（-x²+2x+3）²+（x²-2x+1）²+（1-x）²=20，
解得：x=1或3（均舍去），
綜上：點G的坐標為（-$\frac{3}{2}$，-$\frac{9}{4}$）、（$\frac{1}{2}$，$\frac{15}{4}$）、（0，3）．

點評 本題主要考查了二次函數(shù)的綜合應用，根據(jù)二次函數(shù)得出相關點的坐標和對稱軸的解析式是解題的基礎．