Question

2．如圖所示，在長方形ABCD中，BC=24cm，AB=10cm，點P，Q，M，N分別從A，B，C，D出發(fā)沿AD，BC，CB，DA方向在長方形的邊上同時運動，當(dāng)有一個點先到達(dá)所在運動邊的另一個端點時，運動即停止．已知在相同時間內(nèi)，若BQ=xcm（x≠0），則AP=2xcm，CM=3xcm，DN=x²cm．
（1）當(dāng)x何值時，點P，Q，M，N停止運動，此時梯形NQMP的面積是多少？
（2）當(dāng)x為何值時，以PQ，MN為兩邊，以矩形的邊（AD或BC）的一部分為第三邊構(gòu)成一個三角形；
（3）當(dāng)x為何值時，以P，Q，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形．（結(jié)果用根號表示）

Answer 1

分析 （1）分別令BQ=x=24，AP=2x=24，CM=3x=24，DN=x²=24，求出相應(yīng)的x的值，取x的最小的值，然后分別求出AP，BQ，CM及QM的值，然后根據(jù)梯形的面積公式計算即可；
（2）以PQ，MN為兩邊，以矩形的邊（AD或BC）的一部分為第三邊構(gòu)成一個三角形的必須條件是點P、N重合且點Q、M不重合，此時AP+ND=AD即2x+x²=24cm，BQ+MC≠BC即x+3x≠24cm；或者點Q、M重合且點P、N不重合，此時AP+ND≠AD即2x+x²≠24cm，BQ+MC=BC即x+3x=24cm．所以可以根據(jù)這兩種情況來求解x的值；
（3）以P，Q，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形的話，因為由第一問可知點Q只能在點M的左側(cè)．當(dāng)點P在點N的左側(cè)時，AP=MC，BQ=ND；當(dāng)點P在點N的右側(cè)時，AN=MC，BQ=PD．所以可以根據(jù)這些條件列出方程關(guān)系式．

解答 解：（1）令BQ=x=24，解得：x=24；
令A(yù)P=2x=24，解得：x=12；
令CM=3x=24，解得x=8；
令DN=x²=24，解得：x=2$\sqrt{6}$，
∵2$\sqrt{6}$＜8＜12＜24，
∴當(dāng)x=2$\sqrt{6}$cm（即當(dāng)N到達(dá)A點）時，點P，Q，M，N停止運動，
當(dāng)x=2$\sqrt{6}$cm時，AP=4$\sqrt{6}$cm，CM=6$\sqrt{6}$cm，BQ=2$\sqrt{6}$cm，
∴QM=BC-BQ-CM=24-8$\sqrt{6}$，
如圖1所示，

∴梯形NQMP的面積=$\frac{1}{2}$（NP+QM）×AB=$\frac{1}{2}$×（4$\sqrt{6}$+24-8$\sqrt{6}$）×10=120-20$\sqrt{6}$cm；
（2）當(dāng)點P與點N重合或點Q與點M重合時，以PQ，MN為兩邊，以矩形的邊（AD或BC）的一部分為第三邊可能構(gòu)成一個三角形．
①當(dāng)點P與點N重合時，如圖2所示，

由x²+2x=24，得x₁=4，x₂=-6（舍去）．
因為BQ+CM=x+3x=16＜24，此時點Q與點M不重合．
所以x=4符合題意．
②當(dāng)點Q與點M重合時，由x+3x=24，得x=6．
此時DN=x²=36＞24，不符合題意．
故點Q與點M不能重合．
所以當(dāng)x為4時，以PQ，MN為兩邊，以矩形的邊（AD或BC）的一部分為第三邊構(gòu)成一個三角形；
（3）由（2）知，點Q只能在點M的左側(cè)，
①當(dāng)點P在點N的左側(cè)時，
由24-（x+3x）=24-（2x+x²），
解得x₁=0（舍去），x₂=2．
當(dāng)x=2時四邊形PQMN是平行四邊形；
②當(dāng)點P在點N的右側(cè)時，
由24-（x+3x）=（2x+x²）-24，
解得x₁=-3-$\sqrt{57}$（舍去），x₂=-3+$\sqrt{57}$．
當(dāng)x=-3+$\sqrt{57}$時四邊形NQMP是平行四邊形．
所以當(dāng)x=2或x=-3+$\sqrt{57}$時，以P，Q，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形．

點評 此題是一個運動型問題，把運動和平行四邊形的性質(zhì)結(jié)合起來，利用題目的等量關(guān)系列出一元二次方程解決問題．解題時首先要認(rèn)真閱讀題目，正確理解題意，然后才能正確設(shè)未知數(shù)列出方程解題，并滲透分類討論思想．