Question

2．如圖，直徑為10的⊙O經(jīng)過原點(diǎn)O，并且與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，線段OA、OB（OA＞OB）的長分別是方程x²+kx+48=0的兩根．
（1）求線段OA、OB的長；
（2）已知點(diǎn)C在劣弧OA上，連結(jié)BC交OA于D，當(dāng)OC²=CD•CB時(shí)，求C點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）在⊙O上是否存在點(diǎn)P，使S_△POD=S_△ABD？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系寫出OA+OB和OA•OB的值．連接AB，根據(jù)90°的圓周角所對的弦是直徑，再結(jié)合勾股定理列方程求解．
（2）若OC²=CD•CB，則三角形OCB相似于三角形DCO，則∠COD=∠CBO．又∠COD=∠CBA，則∠CBO=∠CBA，所以點(diǎn)C是弧OA的中點(diǎn)．連接O′C，根據(jù)垂徑定理的推論，得O′E⊥OA．再進(jìn)一步根據(jù)垂徑定理和勾股定理進(jìn)行計(jì)算即可．
（3）首先求得直線BC的解析式，求得D的坐標(biāo)，根據(jù)面積相等即可求得P的縱坐標(biāo)，根據(jù)圓的直徑即可作出判斷．

解答 解：（1）連接AB，
∵∠BOA=90°，
∴AB為直徑，根與系數(shù)關(guān)系得OA+OB=-k，OA×OB=48；
根據(jù)勾股定理，得OA²+OB²=100，
即（OA+OB）²-2OA×OB=100，
解得：k²=196，
∴k=±14（正值舍去）．
則有方程x²-14x+48=0，
解得：x=6或8．
又∵OA＞OB，
∴OA=8，OB=6；

（2）若OC²=CD×CB，則△OCB∽△DCO，
∴∠COD=∠CBO，
又∵∠COD=∠CBA，
∴∠CBO=∠CBA，
所以點(diǎn)C是弧OA的中點(diǎn)．
連接O′C交OA于點(diǎn)D，根據(jù)垂徑定理的推論，得O′C⊥OA，
根據(jù)垂徑定理，得OD=4，
根據(jù)勾股定理，得O′D=3，
故CD=2，即C（4，-2）；

（3）設(shè)直線BC的解析式是y=kx+b，把B（0，6），C（4，-2）代入得：
$\left\{\begin{array}{l}{b=6}\\{4k+b=-2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=6}\end{array}\right.$．
則直線BC的解析式是：y=-2x+6，
令y=0，
解得：x=3，
則OD=3，AD=8-3=5，
故S_△ABD=$\frac{1}{2}$×5×6=15．
若S_△ABD=S_△OBD，P到x軸的距離是h，
則$\frac{1}{2}$×3h=15，解得：h=10．
而⊙O′的直徑是10，因而P不能在⊙O′上，
故P不存在．

點(diǎn)評 本題考查了圓的綜合題目，涉及了一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)解析式的確定、圖形的面積求法、圓周角定理、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，注意所學(xué)知識的融會貫通．