Question

4．如圖（1），⊙O的半徑為1cm，直線CD經(jīng)過(guò)圓心O，交⊙O于C、D兩點(diǎn)，直徑AB⊥CD，點(diǎn)M在CD的延長(zhǎng)線上，AM所在的直線交于⊙O于點(diǎn)N，點(diǎn)P在線段DM上，且PN與⊙O相切于點(diǎn)N．
（1）求證：PM=PN；
（2）連結(jié)AC、CN，如圖（2），若∠AMO=30°，求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)ON，根據(jù)同圓的半徑相等，得到OA=ON，∠ONA=∠OAN，由等腰三角形的判定與性質(zhì)定理推出結(jié)論．
（2）連結(jié)ON，作NE⊥OD，由含30°的直角三角形的性質(zhì)得到NE=$\frac{1}{2}ON=\frac{1}{2}$，根據(jù)扇形的面積公式求出結(jié)果．

解答 （1）證明：連結(jié)ON，
∵OA=ON，∴∠ONA=∠OAN，
在Rt△AOM中，
∵∠PMN+∠OAM=90°，
∴∠PMN+∠ONA=90°，
∵PN與⊙O相切，
∴∠PNO=90°，∴∠PNM+∠ONA=90°，
∴∠PNM=∠PMN，
∴PM=PN．

（2）解：連結(jié)ON，作NE⊥OD，垂足為點(diǎn)E，
∵∠AMO=30°，PM=PN，
∴∠PNM=30°，∠OPN=60°，
∵∠ONP=90°，∴∠PON=30°，
則NE=$\frac{1}{2}ON=\frac{1}{2}$，
∵∠AOM=90°，∴∠AON=60°．
∴S_陰影=S_△AOC+S_扇形AON-S_△CON=$\frac{1}{2}×1×1+\frac{60}{360}π×1-\frac{1}{2}×1×\frac{1}{2}$=$\frac{1}{4}+\frac{π}{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，含30°的直角三角形的性質(zhì)，扇形的面積公式，作出正確的輔助線是解題的關(guān)鍵．