Question

15．如圖，PB為⊙O的切線，B為切點(diǎn)，直線PO交⊙O于點(diǎn)E，F(xiàn)，過(guò)點(diǎn)B作PO的垂線BA，垂足為點(diǎn)D，交⊙O于點(diǎn)A，延長(zhǎng)AO與⊙O交于點(diǎn)C，連接BC，AF．
（1）求證：直線PA為⊙O的切線；
（2）求證：EF²=4OD•OP；
（3）若BC=6，tan∠F=$\frac{1}{2}$，求AC的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）連接OA，由OP垂直于AB，利用垂徑定理得到D為AB的中點(diǎn)，即OP垂直平分AB，可得出AP=BP，再由OA=OB，OP=OP，利用SSS得出三角形AOP與三角形BOP全等，由PA為圓的切線，得到OA垂直于AP，利用全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等及垂直的定義得到OB垂直于BP，即PB為圓O的切線；
（2）由一對(duì)直角相等，一對(duì)公共角，得出三角形AOD與三角形OAP相似，由相似得比例，列出關(guān)系式，由OA為EF的一半，等量代換即可得證．
（3）根據(jù)OA=OC，AD=BD，BC=6，得到OD=$\frac{16}{7}$BC=3．設(shè)AD=x，從而得到tan∠F=$DF=\sqrt{D{C^2}-F{C^2}}=\sqrt{{{13}^2}-{5^2}}=12$，表示出FD=2x，OA=OF=2x-3．在Rt△AOD中，由勾股定理求得x后即可求得半徑，從而求得直徑．

解答 解：（1）連接OB，
∵PB是⊙O的切線，
∴∠PBO=90°．
∵OA=OB，BA⊥PO于D
∴AD=BD，∠POA=∠POB．
又∵PO=PO，
∴△PAO≌△PBO．
∴∠PAO=∠PBO=90°
∴直線PA為⊙O的切線．        

（2）∵∠PAO=∠PDA=90°，
∴∠OAD+∠AOD=90°，∠OPA+∠AOP=90°．
∴∠OAD=∠OPA，
∴△OAD∽△OPA，
∴${（2\sqrt{2}x）^2}+{（2\sqrt{2}）^2}={（x+2\sqrt{2}）^2}$=$x=\frac{{4\sqrt{2}}}{7}$，
即OA²=OD•OP．
又∵EF=2OA，
∴EF²=4OD•OP；

（3）∵OA=OC，AD=BD，BC=6，
∴OD=$\frac{1}{2}$BC=3．
設(shè)AD=x，
∵tan∠F=$\frac{1}{2}$，
∴FD=2x，OA=OF=2x-3．
在Rt△AOD中，由勾股定理，得（2x-3）²=x²+3²．
解之得，x₁=4，x₂=0（不合題意，舍去）．
AD=4，OA=2x-3=5．
∵AC是⊙O的直徑，
∴AC=2OA=10．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了切線的判定與性質(zhì)，相似及全等三角形的判定與性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)關(guān)系等知識(shí)，熟練掌握切線的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．