Question

3．如圖，等腰△ABC中，CA=CB=4，∠ACB=120°，點D在線段AB上運動（不與A、B重合），將△CAD與△CBD分別沿直線CA、CB翻折得到△CAP與△CBQ，給出下列結(jié)論：
①CD=CP=CQ；
②∠PCQ的大小不變；
③△PCQ面積的最小值為$\frac{4\sqrt{3}}{5}$；
④當(dāng)點D在AB的中點時，△PDQ是等邊三角形，
其中所有正確結(jié)論的序號是①②④．

Answer 1

分析 ①由折疊直接得到結(jié)論；
②由折疊的性質(zhì)求出∠ACP+∠BCQ=120°，再用周角的意義求出∠PCQ=120°；
③先作出△PCQ的邊PC上的高，用三角函數(shù)求出QE=$\sqrt{3}$CQ，得到S_△PCQ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$CD²，判斷出△PCQ面積最小時，點D的位置，求出最小的CD=CF，即可；
④先判斷出△APD是等邊三角形，△BDQ是等邊三角形，再求出∠PDQ=60°，即可．

解答 解：①∵將△CAD與△CBD分別沿直線CA、CB翻折得到△CAP與△CBQ，
∴CP=CD=CQ，
∴①正確；
②∵將△CAD與△CBD分別沿直線CA、CB翻折得到△CAP與△CBQ，
∴∠ACP=∠ACD，∠BCQ=∠BCD，
∴∠ACP+∠BCQ=∠ACD+∠BCD=∠ACB=120°，
∴∠PCQ=360°-（∠ACP+BCQ+∠ACB）=360°-（120°+120°）=120°，
∴∠PCQ的大小不變；
∴②正確；
③如圖，

過點Q作QE⊥PC交PC延長線于E，
∵∠PCQ=120°，
∴∠QCE=60°，
在Rt△QCE中，sin∠QCE=$\frac{QE}{CQ}$，
∴QE=CQ×sin∠QCE=CQ×sin60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$CQ，
∵CP=CD=CQ
∴S_△PCQ=$\frac{1}{2}$CP×QE=$\frac{1}{2}$CP×$\frac{\sqrt{3}}{2}$CQ=$\frac{\sqrt{3}}{4}$CD²，
∴CD最短時，S_△PCQ最小，
即：CD⊥AB時，CD最短，
過點C作CF⊥AB，此時CF就是最短的CD，
∵AC=BC=4，∠ACB=120°，
∴∠ABC=30°，
∴CF=$\frac{1}{2}$BC=2，
即：CD最短為2，
∴S_△PCQ最小=$\frac{\sqrt{3}}{4}$CD²=$\frac{\sqrt{3}}{4}$×2²=$\sqrt{3}$，
∴③錯誤，
④∵將△CAD與△CBD分別沿直線CA、CB翻折得到△CAP與△CBQ，
∴AD=AP，∠DAC=∠PAC，
∵∠DAC=30°，
∴∠APD=60°，
∴△APD是等邊三角形，
∴PD=AD，∠ADP=60°，
同理：△BDQ是等邊三角形，
∴DQ=BD，∠BDQ=60°，
∴∠PDQ=60°，
∵當(dāng)點D在AB的中點，
∴AD=BD，
∴PD=DQ，
∴△DPQ是等邊三角形．
∴④正確，
故答案為：①②④．

點評 此題是幾何變換綜合題，主要考查了折疊的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定，銳角三角函數(shù)，極值的確定，三角形的面積公式，解本題的關(guān)鍵是判斷出∠PCQ=120°是個定值；（其實這個題目中還有∠PDQ=60°也是定值），解本題的難點是確定出△PCQ面積最小時，點D的位置．