Question

11．如圖，四邊形ABCD中，AD=3，CD=4，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°，則BD的長為$\sqrt{34}$．

Answer 1

分析 根據(jù)等式的性質(zhì)，可得∠BAD與∠CAD′的關(guān)系，根據(jù)SAS，可得△BAD與△CAD′的關(guān)系，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，可得BD與CD′的關(guān)系，根據(jù)勾股定理，可得答案．

解答 解：作AD′⊥AD，AD′=AD，連接CD′，DD′，如圖：
∵∠BAC+∠CAD=∠DAD′+∠CAD，
即∠BAD=∠CAD′，
在△BAD與△CAD′中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=CA}\\{∠BAD=∠CAD}\\{AD=AD′}\end{array}\right.$，
∴△BAD≌△CAD′（SAS），
∴BD=CD′．
∠DAD′=90°
由勾股定理得DD′=$\sqrt{A{D}^{2}+（AD′）^{2}}$=3$\sqrt{2}$，
∠D′DA+∠ADC=90°
由勾股定理得CD′=$\sqrt{C{D}^{2}+（DD′）^{2}}$=$\sqrt{34}$，
∴BD=CD′=$\sqrt{34}$，
故答案為：$\sqrt{34}$．

點評 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，利用了全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，作出全等圖形是解題關(guān)鍵．