Question

6．已知：直線y=-3x-6與x軸，y軸分別交于點(diǎn)A，B，點(diǎn)C在第三象，且△ABC為等腰直角二角形，∠ACB=90°，若點(diǎn)M（m，1），且△ABC的面積與△ABM的面積相等．
（點(diǎn)P（x₀，y₀）到直線Ax+By+C=0（A²+B²≠0）的距離d=$\frac{|A{x}_{0}+B{y}_{0}+C|}{\sqrt{{A}^{2}+{B}^{2}}}$
（1）求過(guò)點(diǎn)C且與直線AB垂直的直線方程；
（2）求m的值．

Answer 1

分析 （1）由直線解析式，分別令x與y為0求出y與x的值，確定出A與B坐標(biāo)，設(shè)C（x，y）（x＜0，y＜0），根據(jù)題意得BC²=AC²，BC²+AC²=AB²，列出關(guān)于x與y的方程組，求出方程組的解得到x與y的值，即可確定出C的坐標(biāo)；根據(jù)互相垂直的兩直線斜率之積為-1，可設(shè)所求直線解析式為y=$\frac{1}{3}$x+b，將C點(diǎn)坐標(biāo)代入求出b的值即可；
（2）先求出△ABC的面積=10，那么△ABM的面積=10．根據(jù)點(diǎn)P（x₀，y₀）到直線Ax+By+C=0（A²+B²≠0）的距離d=$\frac{|A{x}_{0}+B{y}_{0}+C|}{\sqrt{{A}^{2}+{B}^{2}}}$的公式求出點(diǎn)M（m，1）到直線AB：3x+y+6=0的距離d即△ABM中AB邊的高，再根據(jù)面積公式得出關(guān)于m的方程，解方程即可．

解答 解：（1）對(duì)于直線y=-3x-6，
令x=0，得到y(tǒng)=-6；令y=0，得到x=-2，
∴A（-2，0），B（0，-6），
∴AB²=2²+6²=40．
設(shè)C（x，y）（x＜0，y＜0），
根據(jù)題意得：BC²=AC²，BC²+AC²=AB²，
即$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+（y+6）^{2}=（x+2）^{2}+{y}^{2}}\\{{x}^{2}+（y+6）^{2}+（x+2）^{2}+{y}^{2}=40}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=-4}\\{{y}_{1}=-4}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=2}\\{{y}_{2}=-2}\end{array}\right.$（不合題意舍去）．
∴C（-4，-4）．
設(shè)過(guò)點(diǎn)C且與直線AB垂直的直線方程是y=$\frac{1}{3}$x+b，
將C點(diǎn)坐標(biāo)代入，得-$\frac{4}{3}$+b=-4，
解得b=-$\frac{8}{3}$，
∴過(guò)點(diǎn)C且與直線AB垂直的直線方程是y=$\frac{1}{3}$x-$\frac{8}{3}$；

（2）∵△ABC的面積=$\frac{1}{2}$AC•BC=$\frac{1}{2}$AC²=$\frac{1}{4}$AB²=10，
∴△ABM的面積=10．
∵點(diǎn)M（m，1）到直線AB：3x+y+6=0的距離d=$\frac{|A{x}_{0}+B{y}_{0}+C|}{\sqrt{{A}^{2}+{B}^{2}}}$=$\frac{|3m+1+6|}{\sqrt{{3}^{2}+{1}^{2}}}$=$\frac{|3m+7|}{\sqrt{10}}$，AB=$\sqrt{40}$=2$\sqrt{10}$，
∴△ABM的面積=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{10}$×$\frac{|3m+7|}{\sqrt{10}}$=|3m+7|，
∴|3m+7|=10，
解得m=1或-$\frac{17}{3}$，
故所求m的值為1或-$\frac{17}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，兩點(diǎn)間的距離公式，等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形的面積，熟練掌握一次函數(shù)的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．