Question

16．如圖，反比例函數(shù)y=$\frac{3}{x}$的圖象與直線y=ax（a≠0）交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為3，
（1）則a的值為$\frac{1}{3}$；
（2）若平行于y=-x的直線經(jīng)過點(diǎn)A，與反比例函數(shù)y=$\frac{3}{x}$的圖象交于另一點(diǎn)C，則△ABC的面積為8．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征結(jié)合點(diǎn)A的橫坐標(biāo)即可得出點(diǎn)A的坐標(biāo)，再利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征即可求出a的值；
（2）過點(diǎn)A作AD⊥x軸交AB于點(diǎn)D，設(shè)直線AC的解析式為y=-x+b，根據(jù)點(diǎn)A的坐標(biāo)即可求出直線AC的解析式，聯(lián)立直線AC與反比例函數(shù)解析式成方程組即可求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，再利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，結(jié)合三角形的面積即可求出△ABC的面積，此題得解．

解答 解：（1）∵點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為3且點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=$\frac{3}{x}$的圖象上，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，1），
又∵點(diǎn)A在直線y=ax上，
∴1=3a，解得：a=$\frac{1}{3}$．
故答案為：$\frac{1}{3}$．
（2）過點(diǎn)A作AD⊥x軸交AB于點(diǎn)D，如圖所示．
設(shè)直線AC的解析式為y=-x+b，
∵點(diǎn)A在直線AC上，
∴1=-3+b，解得：b=4，
∴直線AC的解析式為y=-x+4．
聯(lián)立直線AC與反比例函數(shù)解析式成方程組，
$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+4}\\{y=\frac{3}{x}}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=1}\\{{y}_{1}=3}\end{array}\right.$和$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=3}\\{{y}_{2}=1}\end{array}\right.$，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，3）．
當(dāng)x=1時(shí)，y=$\frac{1}{3}$x=$\frac{1}{3}$，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，$\frac{1}{3}$）．
∵反比例函數(shù)y=$\frac{3}{x}$的圖象與直線y=ax（a≠0）交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，1），
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-3，-1）．
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$CD•（x_A-x_B）=$\frac{1}{2}$×（3-$\frac{1}{3}$）×[3-（-3）]=8．
故答案為：8．

點(diǎn)評 本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題、一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征以及三角形的面積，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征找出點(diǎn)A的坐標(biāo)；（2）根據(jù)點(diǎn)A的坐標(biāo)求出直線AC的解析式．