Question

19．如圖，將邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD折疊，使得點(diǎn)A落在CD邊上的點(diǎn)E處，點(diǎn)B落在點(diǎn)B′處，折痕為GF，F(xiàn)H⊥BC于點(diǎn)H，F(xiàn)G=5
（1）求證；△GHF≌△EDA；
（2）求線段AF的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）由折疊的性質(zhì)得：FG⊥AE，證得∠GFH=90°-∠AFG=∠DAE，再證得四邊形DCHF是矩形，得到FH=DC=AD，即可證得△GHF≌△EDA；
（2）由于△GHF≌△EDA，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AE=FG=5，由勾股定理求得DE，由折疊的性質(zhì)知：EF=AF=AD-FD，由勾股定理求得 FD，即可求得結(jié)論．

解答 （1）證明：由折疊的性質(zhì)得：FG⊥AE，
∴∠GFH=90°-∠AFG=∠DAE，
∵正方形ABCD，
∴∠ADE=∠C=90°，AD=DC，
∵FH⊥BC，∴∠DFH=∠FHC=90°，
∴四邊形DCHF是矩形，
∴FH=DC=AD，
在△GHF和△EDA中$\left\{\begin{array}{l}{∠GFH=∠DAE}\\{FH=AD}\\{∠FHG=ADE}\end{array}\right.$，
∴△GHF≌△EDA；

（2）解：∵△GHF≌△EDA，
∴AE=FG=5，
∴DE²=AE²-AD²=5²-4²=3²，
由折疊的性質(zhì)知：EF=AF=AD-FD=4-FD，
由勾股定理得：EF²=FD²+DE²，
即（4-FD）²=FD²+3²，
解得：FD=$\frac{7}{8}$，
∴AF=AD-FD=4-$\frac{7}{8}$=$\frac{25}{8}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查的是翻折的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)和判定、正方形的性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用，證得△GHF≌△EDA是解題的關(guān)鍵．