Question

7．如圖，在平面直角坐標系中，直線y=$\frac{2}{3}$x+4與x軸、y軸分別交于點A和點B，點C、D分別為線段AB、OB的中點，若點P為OA上一動點，則PC+PD值最小時OP的長為（　�。�

• A． 3
• B． 6
• C． $\frac{2}{3}$
• D． $\frac{3}{2}$

Answer 1

分析 作點C關于x軸的對稱點C′，連接CC′交x軸于點E，連接C′D交x軸于點P′，此時P′C+P′D值最小，過點C′作CF⊥y軸于點F，利用三角形中位線可求出點C、D的坐標，由對稱可求出點C′、F的坐標，再利用三角形的中位線可求出OP′的值，此題得解．

解答 解：作點C關于x軸的對稱點C′，連接CC′交x軸于點E，連接C′D交x軸于點P′，此時P′C+P′D值最小，過點C′作CF⊥y軸于點F，如圖所示．
∵直線y=$\frac{2}{3}$x+4與x軸、y軸分別交于點A和點B，
∴點A（-6，0），點B（0，4）．
∵AE∥BO，點C為AB的中點，
∴CE為△ABO的中位線，
∴OE=$\frac{1}{2}$OA，CE=$\frac{1}{2}$OB，
∴點C（-3，2）．
同理可得出點D（0，2）．
∵點C、C′關于x軸對稱，
∴點C′（-3，-2），F(xiàn)（0，-2），
∴點O為DF的中點，
∴OP′為△DC′F的中位線，
∴OP′=$\frac{1}{2}$C′F=$\frac{3}{2}$．
故選D．

點評 本題考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標特征、三角形的中位線以及軸對稱圖形中最短路線問題，找出PC+PD值最小時點P的位置是解題的關鍵．