Question

13．如圖，等邊△ABC中，點D、E、F分別同時從點A、B、C出發(fā)，以相同的速度在AB、BC、CA上運動，連結(jié)DE、EF、DF．
（1）證明：△DEF是等邊三角形；
（2）在運動過程中，當(dāng)△CEF是直角三角形時，試求$\frac{{S}_{△DEF}}{{S}_{△ABC}}$的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出∠A=∠B=∠C=60°，AB=BC=CA，AD=BE=CF，進一步證得BD=EC=AF，即可證得△ADF≌△BED≌△CFE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出DE=EF=FD，即可證得△DEF是等邊三角形；
（2）由△ABC和△DEF是等邊三角形，得出△DEF∽△ABC，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論．

解答 （1）證明：∵△ABC是等邊三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60°，AB=BC=CA，
∵AD=BE=CF，
∴BD=EC=AF，
在△ADF、△BED和△CFE中
$\left\{\begin{array}{l}{AD=BE=CF}\\{∠A=∠B=∠C}\\{BD=CE=AF}\end{array}\right.$
∴△ADF≌△BED≌△CFE，
∴DE=EF=FD，
∴△DEF是等邊三角形；

（2）解：∵△ABC和△DEF是等邊三角形，
∴△DEF∽△ABC，
∵DE⊥BC，
∴∠BDE=30°，
∴BE=$\frac{1}{2}$BD，即BE=$\frac{1}{3}$BC，CE=$\frac{2}{3}$BC，
∵EF=EC•sin60°=$\frac{2}{3}$BC•$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$BC，
∴$\frac{{S}_{△DEF}}{{S}_{△ABC}}$=（$\frac{EF}{BC}$）²=（$\frac{\sqrt{3}}{3}$）²=$\frac{1}{3}$．

點評 本題考查的是等邊三角形的性質(zhì)，熟知等邊三角形的三個內(nèi)角都相等，且都等于60°是解答此題的關(guān)鍵．