Question

16．已知，在△ABC中，AB=AC，D為AB邊上一點，過點D作DF∥AC交BC于F，過F作FE∥AB交AC于E．
（1）如圖1，當(dāng)D為AB中點時，試判斷四邊形ADFE的形狀；
（2）如圖2，當(dāng)∠BAC=120°時，延長DF到G，使DF=FG，連接AF、AG、EG、CG，當(dāng)AG=EF，AB=6時，求CG的長．

Answer 1

分析 （1）先證明四邊形ADFE為平行四邊形，再由等腰三角形的性質(zhì)和已知條件證出AD=DF，即可得出四邊形ADFE為菱形；
（2）先證明四邊形ADFE為平行四邊形，得出DF=AE，證明四邊形AFGE是矩形，得出∠FAE=∠AEG=∠AFG=90°，再由等腰三角形的性質(zhì)和已知條件得出BD=DF=AE=2，AD=EC=4，在Rt△ADF中，由三角函數(shù)求出AF，得出EG，在Rt△GEC中，根據(jù)勾股定理即可求出CG的長．

解答 解：（1）四邊形ADFE為菱形，理由如下：如圖1所示：
∵DF∥AC，
∴∠DFB=∠C，
∵EF∥AB，
∴四邊形ADFE為平行四邊形，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠DFB=∠B，
∴DB=DF，
又∵D為AB中點，
∴DB=AD，
∴AD=DF，
∴四邊形ADFE為菱形；
（2）如圖2所示：∵DG∥AE，EF∥AD，
∴四邊形ADFE為平行四邊形，
∴DF=AE，
∵DF=FG，
∴FG=AE，
∴四邊形AFGE為平行四邊形，
又∵AG=EF，
∴四邊形AFGE為矩形，
∴∠FAE=∠AEG=∠AFG=90°，
又∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠ABF=∠BAF=∠ACB=30°，
∴BD=DF=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1}{3}$AB，
∵AB=6，
∴BD=DF=AE=2，AD=EC=4，
在Rt△ADF中，AF=AD•cos30°=2$\sqrt{3}$，
∴EG=2$\sqrt{3}$，
在Rt△GEC中，∠GEC=90°，根據(jù)勾股定理得：
CG=$\sqrt{C{E}^{2}+E{G}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+（2\sqrt{3}）^{2}}$=2$\sqrt{7}$．

點評 本題考查了菱形的判定與性質(zhì)、矩形的判定、勾股定理、三角函數(shù)、等腰三角形的性質(zhì)；本題有一定難度，特別是（2）中，需要證明四邊形是矩形，運(yùn)用三角函數(shù)和勾股定理才能得出結(jié)果．