Question

4．在△ABC中，正方形DEFG的頂點D、E在BC邊上，頂點F、G分別在AC、AB上．若△ABC是等腰三角形，且腰長為10cm，底邊長為12cm，則正方形DEFG的邊長為$\frac{24}{5}$或$\frac{240}{49}$cm．

Answer 1

分析 此題分兩種情況，①BC 是△ABC的底邊，如圖1，由已知條件得：AB=AC=10，BC=12，過A作AM⊥BC于M，交GF于N，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到BM=$\frac{1}{2}$BC=6，AM=$\sqrt{A{B}^{2}-B{M}^{2}}$=8，通過三角形相似得到比例式即可得到結(jié)果；
②BC 是△ABC的腰，如圖2，由已知條件得：AC=BC=10，AB=12，過A作AM⊥BC于M，交GF于N，得到△AGF∽△ABC，在R_t△AMC與R_t△ABM中，根據(jù)勾股定理求得CM=$\frac{14}{5}$，得到AM=$\frac{48}{5}$，通過比例式列方程即可得到結(jié)果．

解答 解：①BC 是△ABC的底邊，如圖1，
由已知條件得：AB=AC=10，BC=12，
過A作AM⊥BC于M，交GF于N，
∴BM=$\frac{1}{2}$BC=6，∴AM=$\sqrt{A{B}^{2}-B{M}^{2}}$=8，
∵四邊形DEFG是正方形，
∴GF∥DE，DG=GF=DE，
∴AN⊥GF，
∴△AGF∽△ABC，
∴$\frac{GF}{BC}=\frac{AN}{AM}=\frac{AM-GF}{AM}$，
∴$\frac{GF}{12}=\frac{8-GF}{8}$，
解得；GF=$\frac{24}{5}$；
②BC 是△ABC的腰，如圖2，
由已知條件得：AC=BC=10，AB=12，
過A作AM⊥BC于M，交GF于N，
∵四邊形DEFG是正方形，
∴GF∥DE，DG=GF=DE，
∴AN⊥GF，
∴△AGF∽△ABC，
在R_t△AMC與R_t△ABM中，
AC²-CM²=AB²-BM²=AB²-（BC-CM）²，
即：10²-CM²=12²-（10-CM）²，
解得：CM=$\frac{14}{5}$，
∴AM=$\frac{48}{5}$，
∵△AGF∽△ABC，
∴$\frac{GF}{BC}=\frac{AN}{AM}=\frac{AM-GF}{AM}$，
即$\frac{GF}{10}=\frac{\frac{48}{5}-GF}{\frac{48}{5}}$，
解得；GF=$\frac{240}{49}$，
∴正方形DEFG的邊長為：$\frac{24}{5}$或$\frac{240}{49}$，
故答案為：$\frac{24}{5}$或$\frac{240}{49}$．

點評 本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，正確的作出圖形是解題的關(guān)鍵．