Question

17．問題探究：
（1）如圖1，在正方形ABCD中，AB=2，點E是邊AD的中點，請在對角線AC上找一點P，使得PE+PD的值最小，并求出這個最小值；（不用寫作法，保留作圖痕跡）
（2）如圖2，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，點E是邊BC的中點，若點P是邊AB上一動點，當△PED的周長最小時，求BP的長度；
問題解決：
（3）某市規(guī)劃在市中心廣場內(nèi)修建一個矩形的活動中心，如圖3，矩形OABC是它的規(guī)劃圖紙，其中A為入口，已知OA=30，OC=20，點E是邊AB的中點，以頂點O為原點，OA所在的直線為x軸，OC所在的直線為y軸，建立平面直角坐標系，點D是邊OA上一點，若將△ABD沿BD翻折，點A恰好落在邊BC上的點F處，在點F處設一出口，點M、N分別是邊OA、OC上的點，現(xiàn)規(guī)劃在點M、N、F、E四處各安置一個健身器材，并依次修建MN、NF、FE及EM四條小路，則是否存在點M、N，使得這四條小路的總長度最�。咳舸嬖�，求出這個最小值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）連接BE交AC于P，則點P即為所求，此時BE的長就是PE+PD的最小值，由正方形的性質(zhì)得出AD=AB=2，AE=DE=$\frac{1}{2}$AD=1，由勾股定理得出PE+PD=BE=$\sqrt{5}$即可；
（2）作點E關于直線AB的對稱點E'，連接DE'，交AB于點P，連接PE、DE，則此時△PED的周長最小，由矩形的性質(zhì)得出∠PBE'=∠C=90°，CD=AB=6，BE'=BE=$\frac{1}{2}$BC=4，證明△PBE'∽△DCE'，得出對應邊成比例求出BP=2即可；
（3）作點E關于x軸的對稱點E'，作點F關于y軸的對稱點F'，連接E'F'，與x軸、y軸分別交于點M、N，連接MN、NF、FE、EM，則此時這四條小路的總長最小，且最小值為E'F'+EF的長，由題意得：BC=OA=30，AB=OC=20，求出E（30，10），E'（30，-10），由折疊的性質(zhì)得：BF=AB=20，求出CF'=CF=10，得出F'（10，20），F(xiàn)'（-10，20），由勾股定理求出EF=10$\sqrt{5}$，在Rt△BE'F'中，由勾股定理求出E'F'=50，由對稱的性質(zhì)得：MN+NF+FE+EM=E'F'+EF=50+10$\sqrt{5}$即可．

解答 解：（1）連接BE交AC于P，如圖1所示：
則點P即為所求，
∴此時BE的長就是PE+PD的最小值，
∵在正方形ABCD中，AB=2，點E是邊AD的中點，
∴AD=AB=2，AE=DE=$\frac{1}{2}$AD=1，PE+PD=BE=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$；
即PE+PD的最小值為$\sqrt{5}$；

（2）作點E關于直線AB的對稱點E'，連接DE'，交AB于點P，連接PE、DE，如圖2所示：
則此時△PED的周長最小，
∵在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，點E是邊BC的中點，
∴∠PBE'=∠C=90°，CD=AB=6，BE'=BE=$\frac{1}{2}$BC=4，
又∵∠E'=∠E'，
∴△PBE'∽△DCE'，
∴$\frac{BP}{CD}=\frac{BE'}{CE'}$，即$\frac{BP}{6}=\frac{4}{4+8}$，
解得：BP=2，
即當△PED的周長最小時，BP的長度為2；

（3）作點E關于x軸的對稱點E'，作點F關于y軸的對稱點F'，連接E'F'，與x軸、y軸分別交于點M、N，連接MN、NF、FE、EM，如圖3所示：
則此時這四條小路的總長最小，且最小值為E'F'+EF的長，
由題意得：BC=OA=30，AB=OC=20，點E為AB中點，
∴AE'=AE=BE=$\frac{1}{2}$AB=10，
∴E（30，10），E'（30，-10），
由折疊的性質(zhì)得：BF=AB=20，
∴CF'=CF=30-20=10，
∴F'（10，20），F(xiàn)'（-10，20），
∴EF=$\sqrt{2{0}^{2}+1{0}^{2}}$=10$\sqrt{5}$，
在Rt△BE'F'中，BF'=BC+CF'=40，BE'=AB+AE'=30，
∴E'F'=$\sqrt{4{0}^{2}+3{0}^{2}}$=50，
由對稱的性質(zhì)得：MN+NF+FE+EM=E'F'+EF=50+10$\sqrt{5}$，
即存在點M、N，使得這四條小路的總長度最小，這個最小值為50+10$\sqrt{5}$．

點評 本題是四邊形綜合題目，考查了正方形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、對稱的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)以及最小值、最短路徑問題等知識；本題綜合性強，有一定難度．