Question

19．一元二次方程ax²+$\frac{1}{3}$x+1=0的兩根分別為x₁，x₂，bx²+$\frac{1}{3}$x+1=0的兩根分別為x₃，x₄，且x₁＜x₃＜x₄＜x₂＜0，則（　�。�

• A． 0＞a＞b
• B． 0＞b＞a
• C． b＞a＞0
• D． a＞b＞0

Answer 1

分析 分析：設(shè)$f（x）=a{x}^{2}+\frac{1}{3}x+1$，方程f（x）=0的兩實根為x₁，x₂（x₁＜x₂），x₃，x₄是一元二次方程b${x}^{2}+\frac{1}{3}x+1=0$的兩根，所以由x₁＜x₃＜x₄＜x₂成立，即x₃，x₄在兩實根x₁，x₂之間，可由根的分布的相關(guān)知識將這一關(guān)系轉(zhuǎn)化為不等式，得出a與b的關(guān)系．

解答 解：∵x₁，x₂是一元二次方程ax²+$\frac{1}{3}$x+1=0的兩根，
∴$a{{x}_{1}}^{2}+\frac{1}{3}{x}_{1}+1=0$，$a{{x}_{2}}^{2}+\frac{1}{3}{x}_{2}+1=0$，
∴$f（{x}_{3}）=a{{x}_{3}}^{2}+\frac{1}{3}{x}_{3}+1$，$f（{x}_{4}）=a{{x}_{4}}^{2}+\frac{1}{3}{x}_{4}+1$，
∵x₃，x₄是一元二次方程bx²+$\frac{1}{3}$x+1=0的兩根，
∴$b{{x}_{3}}^{2}+\frac{1}{3}{x}_{3}+1=0$，$b{{x}_{4}}^{2}+\frac{1}{3}{x}_{4}+1=0$，
∴$f（{x}_{3}）=（a-b）{{x}_{3}}^{2}$，$f（{x}_{4}）=（a-b）{{x}_{4}}^{2}$
∵x₁＜x₃＜x₄＜x₂＜0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{b＞0}\\{f（{x}_{3}）＜0}\\{f（{x}_{4}）＜0}\end{array}\right.$，
∴
$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{b＞0}\\{a-b＜0}\end{array}\right.$
∴b＞a＞0
故選：C

點評 本題考查一元二次方程的根的分布與系數(shù)的關(guān)系，解答的關(guān)鍵是對二次函數(shù)圖象的特征的把握，是一道關(guān)于二次函數(shù)的綜合性很強的題目．