Question

7．如圖1，在矩形紙片ABCD中，AB=8$\sqrt{3}$，AD=10，點(diǎn)E是CD中點(diǎn)，將這張紙片依次折疊兩次；第一次折疊紙片使點(diǎn)A與點(diǎn)E重合，如圖2，折痕為MN，連接ME、NE；第二次折疊紙片使點(diǎn)N與點(diǎn)E重合，如圖3，點(diǎn)B落到B′處，折痕為HG，連接HE，則tan∠EHG=$\frac{5}{6}$$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 如圖2中，作NF⊥CD于F．設(shè)DM=x，則AM=EM=10-x，利用勾股定理求出x，再利用△DME∽△FEN，得$\frac{DE}{FN}$=$\frac{EM}{EN}$，求出EN，EM，求出tan∠AMN，再證明∠EHG=∠AMN即可解決問(wèn)題．

解答 解：如圖2中，作NF⊥CD于F．設(shè)DM=x，則AM=EM=10-x，
∵DE=EC，AB=CD=8$\sqrt{3}$，
∴DE=$\frac{1}{2}$CD=4$\sqrt{3}$，
在RT△DEM中，∵DM²+DE²=EM²，
∴（4$\sqrt{3}$）²+x²=（10-x）²，
解得x=2.6，
∴DM=2.6，AM=EM=7.4，
∵∠DEM+∠NEF=90°，∠NEF+∠ENF=90°，
∴∠DEM=∠ENF，∵∠D=∠EFN=90°，
∴△DME∽△FEN，
∴$\frac{DE}{FN}$=$\frac{EM}{EN}$，
∴$\frac{4\sqrt{3}}{10}$=$\frac{7.4}{EN}$，
∴EN=$\frac{37}{6}$$\sqrt{3}$，
∴AN=EN=$\frac{37}{6}$$\sqrt{3}$，
∴tan∠AMN=$\frac{AN}{AM}$=$\frac{5}{6}$$\sqrt{3}$，
如圖3中，∵M(jìn)E⊥EN，HG⊥EN，
∴EM∥GH，
∴∠NME=∠NHG，
∵∠NME=∠AMN，∠EHG=∠NHG，
∴∠AMN=∠EHG，
∴tan∠EHG=tan∠AMN=$\frac{5}{6}$$\sqrt{3}$．
方法二，tan∠EHG=tan∠EMN=$\frac{EN}{EM}$=$\frac{BC}{DE}$．
故答案為$\frac{5}{6}$$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查翻折變換、勾股定理、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)把問(wèn)題轉(zhuǎn)化，證明∠AMN=∠EHG是關(guān)鍵，屬于中考填空題中的壓軸題．