Question

11．如圖，已知拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A（1，0）和點(diǎn)B（-3，0），與y軸交于點(diǎn)C，且OC=OB．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）若點(diǎn)E為第二象限拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接BE，CE，求四邊形BOCE面積的最大值，并求出此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（3）點(diǎn)P在拋物線的對(duì)稱軸上，若線段PA繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′恰好也落在此拋物線上，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
（4）連接AC，H是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)H作AC的平行線交x軸于點(diǎn)F．是否存在這樣的點(diǎn)F，使得以A，C，H，F(xiàn)為頂點(diǎn)所組成的四邊形是平行四邊形？若存在，求出滿足條件的點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）由點(diǎn)B的坐標(biāo)可知OB的長(zhǎng)，根據(jù)OC=OB，即可得出點(diǎn)C的坐標(biāo)以及c，再根據(jù)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出二次函數(shù)解析式；
（2）過(guò)點(diǎn)E作EF⊥x軸于點(diǎn)F，設(shè)E（m，-m²-2m+3）（-3＜m＜0），結(jié)合B、O、C點(diǎn)的坐標(biāo)即可得出BF、OF、OC、EF的長(zhǎng)，利用分割圖形求面積法即可找出S_{四邊形BOCE}關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，利用配方法以及二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決最值問(wèn)題；
（3）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-1，n），過(guò)A₁作A₁N⊥對(duì)稱軸于N，設(shè)對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)M．分n＞0和n＜0考慮：①當(dāng)n＞0時(shí)，利用相等的邊角關(guān)系即可證出△A₁NP₁≌△P₁MA（AAS），由此即可得出點(diǎn)A₁的坐標(biāo)，將其代入二次函數(shù)解析式中即可求出n值，由此即可得出點(diǎn)P₁的坐標(biāo)；②當(dāng)n＜0時(shí)，結(jié)合圖形找出點(diǎn)A₂的位置，由此即可得出點(diǎn)P₂的坐標(biāo)．綜上即可得出結(jié)論；
（4）假設(shè)存在，設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)為（t，0），分點(diǎn)H在x軸上方和下方兩種情況考慮，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)結(jié)合A、C、F點(diǎn)的坐標(biāo)即可表示出點(diǎn)H的坐標(biāo)，將其代入二次函數(shù)解析式中即可求出t值，從而得出點(diǎn)F的坐標(biāo)．

解答 解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A（1，0）和點(diǎn)B（-3，0），
∴OB=3，
∵OC=OB，
∴OC=3，
∴c=3，C（0，3），
將A（1，0）、B（-3，0）代入y=ax²+bx+3中，
得：$\left\{\begin{array}{l}{a+b+3=0}\\{9a-3b+3=0}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=-2}\end{array}\right.$．
∴所求拋物線解析式為：y=-x²-2x+3．
（2）如圖1，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥x軸于點(diǎn)F，設(shè)E（m，-m²-2m+3）（-3＜m＜0），
∴EF=-m²-2m+3，BF=m+3，OF=-m，
∴S_{四邊形BOCE}=$\frac{1}{2}$BF•EF+$\frac{1}{2}$（OC+EF）•OF，
=$\frac{1}{2}$（m+3）•（-m²-2m+3）+$\frac{1}{2}$（-m²-2m+3+3）•（-a），
=-$\frac{3}{2}$m²-$\frac{9}{2}$m+$\frac{9}{2}$，
=-$\frac{3}{2}$$（m+\frac{3}{2}）^{2}$+$\frac{63}{8}$．
∵a=-$\frac{3}{2}$＜0，
∴當(dāng)m=-$\frac{3}{2}$時(shí)，S_{四邊形BOCE}最大，且最大值為$\frac{63}{8}$，
此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（-$\frac{3}{2}$，$\frac{15}{4}$）．
（3）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-1，n），如圖2，過(guò)A₁作A₁N⊥對(duì)稱軸于N，設(shè)對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)M．
①當(dāng)n＞0時(shí)，∵∠NP₁A₁+∠MP₁A=∠NA₁P₁+∠NP₁A₁=90°，
∴∠NA₁P₁=∠MP₁A，
在△A₁NP₁與△P₁MA中，$\left\{\begin{array}{l}{∠{A}_{1}N{P}_{1}=∠{P}_{1}MA=90°}\\{∠N{A}_{1}{P}_{1}=∠M{P}_{1}A}\\{{P}_{1}{A}_{1}=A{P}_{1}}\end{array}\right.$，
∴△A₁NP₁≌△P₁MA（AAS），
∴A₁N=P₁M=n，P₁N=AM=2，
∴A₁（n-1，n+2），
將A₁（n-1，n+2）代入y=-x²-2x+3得：n+2=-（x-1）²-2（n-1）+3，
解得：n=1，n=-2（舍去），
此時(shí)P₁（-1，1）；
②當(dāng)n＜0時(shí)，要使P₂A=P₂A₂，由圖可知A₂點(diǎn)與B點(diǎn)重合，
∵∠AP₂A₂=90°，
∴MP₂=MA=2，
∴P₂（-1，-2），
∴滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為P（-1，1）或（-1，-2）．
（4）假設(shè)存在，設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)為（t，0），
以A，C，H，F(xiàn)為頂點(diǎn)的平行四邊形分兩種情況（如圖3）：
①當(dāng)點(diǎn)H在x軸上方時(shí)，
∵A（1，0），C（0，3），F(xiàn)（t，0），
∴H（t-1，3），
∵點(diǎn)H在拋物線y=-x²-2x+3上，
∴3=-（t-1）²-2（t-1）+3，
解得：t₁=-1，t₂=1（舍去），
此時(shí)F（-1，0）；
②當(dāng)點(diǎn)H在x軸下方時(shí)，
∵A（1，0），C（0，3），F(xiàn)（t，0），
∴H（t+1，-3），
∵點(diǎn)H在拋物線y=-x²-2x+3上，
∴-3=-1（t+1）²-2（t+1）+3，
解得：t₃=-2-$\sqrt{7}$，t₄=-2+$\sqrt{7}$，
此時(shí)F（-2-$\sqrt{7}$，0）或（-2+$\sqrt{7}$，0）．
綜上可知：存在這樣的點(diǎn)F，使得以A，C，H，F(xiàn)為頂點(diǎn)所組成的四邊形是平行四邊形，點(diǎn)F的坐標(biāo)為（-1，0）、（-2-$\sqrt{7}$，0）或（-2+$\sqrt{7}$，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、二次函數(shù)的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及平行四邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：（1）利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式；（2）利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決最值問(wèn)題；（3）分點(diǎn)P的縱坐標(biāo)大于0和小于0兩種情況考慮；（4）分點(diǎn)H在x軸上方和下方考慮．本題屬于中檔題，（3）（4）難度不小，解決該題型題目時(shí)，分類討論是解題的關(guān)鍵．