Question

9．如圖，AB是⊙O的直徑，BC⊥AB，垂足為點(diǎn)B，連接CO并延長交⊙O于點(diǎn)D、E，連接AD并延長交BC于點(diǎn)F，則下列結(jié)論正確的有（　　）
①∠CBD=∠CEB；②$\frac{BD}{BE}$=$\frac{CD}{BC}$；③點(diǎn)F是BC的中點(diǎn)；④若$\frac{BC}{AB}$=$\frac{3}{2}$，tanE=$\frac{\sqrt{10}-1}{3}$．

• A． ①②
• B． ③④
• C． ①②④
• D． ①②③

Answer 1

分析 ①正確，運(yùn)用圓周角定理以及等角的余角相等即可解決問題．
②正確，運(yùn)用△EBC∽△BDC即可證明．
③錯(cuò)誤，運(yùn)用反證法來判定．
④正確，設(shè)BC=3x，AB=2x，得出OB、OD及OC、CD的值，運(yùn)用$\frac{BD}{BE}=\frac{CD}{BC}$即可解決問題．

解答 證明：①∵BC⊥AB于點(diǎn)B，
∴∠CBD+∠ABD=90°，
∵∠BAD+∠ABD=90°
∴∠CBD=∠BAD，
∵∠BAD=∠CEB，
∴∠CEB=∠CBD，
故①正確．
②∵∠C=∠C，∠CEB=∠CBD，
∴△EBC∽△BDC，
∴$\frac{BD}{BE}$=$\frac{DC}{BC}$，
故②正確，
③∵∠EBD=∠BDF=90°，
∴DF∥BE，
假設(shè)點(diǎn)F是BC的中點(diǎn)，則點(diǎn)D是EC的中點(diǎn)，
∴ED=DC，
∵ED是直徑，長度不變，而DC的長度是不定的，
∴DC不一定等于ED，
故③是錯(cuò)誤的．
④∵$\frac{BC}{AB}$=$\frac{3}{2}$，
設(shè)BC=3x，AB=2x，
∴OB=OD=x，
∴在Rt△CBO中，OC=$\sqrt{10}$x，
∴CD=（$\sqrt{10}$-1）x
∵由（2）知，$\frac{BD}{BE}$=$\frac{CD}{BC}$，∴$\frac{BD}{BE}$=$\frac{CD}{BC}$=$\frac{（\sqrt{10}-1）x}{3x}$=$\frac{\sqrt{10}-1}{3}$，
∵tanE=$\frac{BD}{BE}$，
∴tanE=$\frac{\sqrt{10}-1}{3}$．
故④正確．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)：在判定兩個(gè)三角形相似時(shí)，應(yīng)注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用，尋找相似三角形的一般方法是通過作平行線構(gòu)造相似三角形；在應(yīng)用相似三角形的性質(zhì)時(shí)只有利用相似比計(jì)算相應(yīng)線段的長．也考查了切線的判定與性質(zhì)．