Question

14．如圖所示，已知等腰三角形△ABC的底邊BC與X軸重合，BC=4，點B（3，0 ），AC交Y軸于點D（0，3），
（ 1 ）求直線AC的解析式；
（2）若點M為等腰三角形△ABC的對稱軸上一點，是否存在這樣的點M，使線段DM+CM的值最��？若存在，直接寫出點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
（3）連續(xù)BD，在線段AC上是否存在一點P，使S_△PBD=$\frac{1}{2}$S_△PBC？若存在，試求出P點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用待定系數(shù)法求直線AC的解析式；
（2）作出等腰三角形的對稱軸AF，因為C和B是對稱點，所以BD與AF的交點就是所求的點M，利用線段垂直平分線的性質(zhì)可知：直線AF：x=1，點M就是AF與BD的交點，利用方程組求解；
（3）存在，分兩種情況：①點P在CD的延長線上時，點P與點A重合，則這時P（1，6）；②點P在線段CD上時，利用平行線分線段成比例定理列比例式求出點P的坐標(biāo)．

解答 解：（1）由題意得：C（-1，0），
設(shè)直線AC的解析式為：y=kx+b，
把C（-1，0）、D（0，3）代入得：
$\left\{\begin{array}{l}{-k+b=0}\\{b=3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=3}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴直線AC的解析式為：y=3x+3；

（2）存在，如圖1，作對稱軸交BD于M，交x軸于F，連接CM，
點C與點B關(guān)于直線AF對稱，
這時CM+DM的值最小，
∵AF是BC的垂直平分線，
∴直線AF的解析式為：x=1，
設(shè)直線BD的解析式為：y=kx+b，
把B（3，0），D（0，3）代入得：
$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=0}\\{b=3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=3}\end{array}\right.$，
則直線BD的解析式為：y=-x+3，
當(dāng)x=1時，y=2，
∴M（1，2）；

（3）①點P在CD的延長線上時，如圖2，當(dāng)PD=CD時，S_△PBD=$\frac{1}{2}$S_△PBC，
∵C（-1，0），D（0，3）
∴P（1，6）
這時點P與點A重合；
②點P在線段CD上時，如圖3，當(dāng)PD=$\frac{1}{2}$PC時，S_△PBD=$\frac{1}{2}$S_△PBC，
過P作PE⊥BC于E，則PE∥OD，
∴$\frac{PE}{OD}$=$\frac{CP}{CD}$=$\frac{CE}{CO}$，
∴$\frac{PE}{3}$=$\frac{2}{3}$=$\frac{CE}{1}$，
∴PE=2，CE=$\frac{2}{3}$，
∴P（-$\frac{1}{3}$，2），
綜上所述，存在這樣的P點，坐標(biāo)為（1，6）或（（-$\frac{1}{3}$，2）．

點評 本題考查一次函數(shù)的性質(zhì)、軸對稱最短問題、平行線分線段成比例定理、三角形的面積等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用軸對稱解決最短問題，學(xué)會構(gòu)建一次函數(shù)，利用方程組確定交點坐標(biāo)，屬于中考壓軸題．