Question

12．如圖1，直線AB交x軸于點(diǎn)A（a，o），交y軸于點(diǎn)B（o，b），且$\sqrt{a-b}$+|2a+b-6|=0．

（1）求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）P是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，問(wèn)是否存在點(diǎn)P，使得S_△PAB=3S_△OAB，若存在，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（3）如圖2，C是線段AB上一動(dòng)點(diǎn)（不與A、B重合），CM⊥OA于M，CN⊥OB于N，當(dāng)C在AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，有兩個(gè)結(jié)論：①CM×CN為定值；②CM+CN為定值，其中只有一個(gè)是正確的，請(qǐng)判斷出正確的結(jié)論，并求其值．

Answer 1

分析 （1）由非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得到方程a-b=0，2a+b-6=0，即可取得結(jié)果；
（2）存在，設(shè)P（m，0），由S_△PAB=3S_△OAB，列方程$\frac{1}{2}|2-m|×2=3×\frac{1}{2}×2×2$，求得結(jié)果；
（3）CM+CN為定值；根據(jù)已知得到CN∥OA，CM∥OB，退出△BCN∽△ACM∽△AOB，得到比例式$\frac{CN}{OA}=\frac{BC}{AB}$，$\frac{CM}{OB}=\frac{AC}{AB}$，化簡(jiǎn)$\frac{CN}{2}+\frac{CM}{2}=\frac{CB}{AB}+\frac{AC}{AB}=\frac{AB}{AB}$=1，即可得到CM+CN=2為定值．

解答 解：∵（1）$\sqrt{a-b}$+|2a+b-6|=0．
∴a-b=0，2a+b-6=0，
解得：a=2，b=2，
∴A（2，0），B（0，2）；

（2）存在，
設(shè)P（m，0），
∵S_△PAB=3S_△OAB，
∴$\frac{1}{2}$PA•OB=3×$\frac{1}{2}$OA•OB，
即：$\frac{1}{2}|2-m|×2=3×\frac{1}{2}×2×2$，
解得：m=-4，m=8，
∴P（-4，0）或P（8，0）；

（3）CM+CN為定值；
∵CM⊥OA于M，CN⊥OB于N，
∴∠AOB=∠CNO=∠CMO=90°，
∴四邊形CNOM是矩形，
∴CN∥OA，CM∥OB，
∴△BCN∽△ACM∽△AOB，
∴$\frac{CN}{OA}=\frac{BC}{AB}$，$\frac{CM}{OB}=\frac{AC}{AB}$，
∴$\frac{CN}{2}+\frac{CM}{2}=\frac{CB}{AB}+\frac{AC}{AB}=\frac{AB}{AB}$=1，
∴CN+CM=2，
∴CM+CN為定值．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，三角形的面積，矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握各性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．