Question

15．如圖，AB為半⊙O的直徑，CA與半圓O相切，四邊形BOCD是平行四邊形，BD與半⊙O交于點E
（1）求證：CE是半⊙O的切線；
（2）若CD=3，BD=5，求平行四邊形BOCD的面積．

Answer 1

分析 （1）連接OE，求出∠AOC=∠EOC，證△CAO≌△CEO，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出∠CAO=∠CEO，根據(jù)切線的性質(zhì)求出∠CAO=90°，根據(jù)切線的判定得出即可；
（2）求出AC，根據(jù)平行四邊形的面積公式求出即可．

解答 （1）證明：

連接OE，
∵OE=OB，
∴∠B=∠OEB，
∵四邊形BOCD是平行四邊形，
∴OC∥BD，
∴∠OEB=∠COE，∠B=∠AOC，
∴∠AOC=∠EOC，
在△CAO和△CEO中
$\left\{\begin{array}{l}{OC=OC}\\{∠COA=∠COE}\\{OA=OE}\end{array}\right.$
∴△CAO≌△CEO，
∴∠CAO=∠CEO，
∵AC切⊙O于A，
∴∠CAO=90°，
∴∠CEO=90°，
∴CE是半⊙O的切線；

（2）解：∵四邊形BOCD是平行四邊形，CD=3，BD=5，
∴CD=OB=OA=3，CO=BD=5，
在Rt△CAO中，由勾股定理得：AC=4，
∴平行四邊形BOCD的面積是3×4=12．

點評 本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，切線的性質(zhì)和判定等知識點，能綜合運用性質(zhì)進行推理是解此題的關(guān)鍵．