Question

6．如圖，△ABC是等邊三角形，CE是外角平分線，點D在AC上，連接BD并延長與CE交于點E．
（1）求證：△ABD∽△CED；
（2）若AB=10，AD=2CD，求CE的長．

Answer 1

分析 （1）由于△ABC是等邊三角形，易知∠A=60°，∠ACF=120°；而CE平分∠ACF，可得∠A=∠DCE=60°，又已知了一組對頂角，兩組對應角相等，可判定所求的兩個三角形相似；
（2）由相似三角形的對應邊成比例，即可求得CE的長．

解答 （1）證明：∵△ABC是等邊三角形，
∴∠BAC=∠ACB=60°，∠ACF=120°；
∵CE是外角平分線，
∴∠ACE=60°；
∴∠BAC=∠ACE；
又∵∠ADB=∠CDE，
∴△ABD∽△CED；

（2）解：∵△ABD∽△CED，
∴$\frac{AB}{CE}=\frac{AD}{CD}$，
∵AD=2DC，
∴AB=2CE，
∴CE=$\frac{1}{2}$AB=5．

點評 此題考查了相似三角形的判定與性質與等邊三角形的性質，以及角平分線的定義．注意掌握有兩角對應相等的三角形相似與相似三角形的對應邊成比例是解此題的關鍵．