Question

2．已知BD垂直平分AC，∠BCD=∠ADF，AF⊥AC，
（1）求證：四邊形ABDF是平行四邊形．
（2）若AF=14，DF=13，AD=15，求AC的長．

Answer 1

分析 （1）先證得△ADB≌△CDB求得∠BCD=∠BAD，從而得到∠ADF=∠BAD，所以AB∥FD，因?yàn)锽D⊥AC，AF⊥AC，所以AF∥BD，即可證得結(jié)論．
（2）由平行四邊形的性質(zhì)得出BD=AF=14，AB=DF=13，設(shè)BE=x，則DE=14-x，由勾股定理得出方程，解方程得出BE，再由勾股定理求出AE，即可得出AC的長．

解答 （1）證明：∵BD垂直平分AC，
∴AB=BC，AD=DC，
在△ADB與△CDB中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{AD=DC}\\{DB=DB}\end{array}\right.$，
∴△ADB≌△CDB（SSS）
∴∠BCD=∠BAD，
∵∠BCD=∠ADF，
∴∠BAD=∠ADF，
∴AB∥FD，
∵BD⊥AC，AF⊥AC，
∴AF∥BD，
∴四邊形ABDF是平行四邊形，
（2）解：∵四邊形ABDF是平行四邊形，
∴BD=AF=14，AB=DF=13，
設(shè)BE=x，則DE=14-x，由勾股定理得：
∴AB²-BE²=AD²-DE²，
即13²-x²=15²-（14-x）²
解得：x=5，
即BE=5，
∴AE=$\sqrt{A{B}^{2}-B{E}^{2}}$=$\sqrt{1{3}^{2}-{5}^{2}}$=12，
∴AC=2AE=24．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理；本題有一定難度，特別是（2）中，運(yùn)用勾股定理得出方程求出BE是解決問題的關(guān)鍵．