Question

2．如圖，點(diǎn)D為等腰直角三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠CAD=∠CBD=15°，E為AD延長(zhǎng)線(xiàn)上的一點(diǎn)，且CE=CA．
（1）求∠EDC的度數(shù)；
（2）若點(diǎn)M在DE上，且DC=DM，求證：ME=BD．

Answer 1

分析 （1）證明△ACD≌△BCD即可解題；
（2）連接CM，先證明CM=CD，即可證明△BCD≌△ECM，即可解題．

解答 （1）解：∵AC=BC，∠CAD=∠CBD，
∴∠DAB=∠DBA，
∴AD=BD，
在△ACD和△BCD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=BD}\\{∠CAD=∠CBD}\\{AC=BC}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCD（SAS），
∴∠ACD=∠BCD=45°，
∴∠CDE=∠CAD+∠ACD=60°；
（2）證明：連接CM，

∵DC=DM，∠CDE=60°，
∴△DMC為等邊三角形，
∴∠MCE=45°，
∴CM=CD，
在△BCD和△ECM中，
$\left\{\begin{array}{l}{CD=CM}\\{∠BCD=∠ECM}\\{CB=CE}\end{array}\right.$，
∴△BCD≌△ECM（SAS），
∴ME=BD．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，涉及等腰直角三角形，線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，難易程度適中，是一道很典型的題目．