Question

5．已知，二次函數(shù)y=ax²-2ax+a+2（a≠0）圖象的頂點(diǎn)為A，與x軸交于B、C兩點(diǎn)，D為BC的中點(diǎn)且AD=$\frac{1}{2}$BC，則a=-$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 把二次函數(shù)配方得出頂點(diǎn)坐標(biāo)，證明△ABC是等腰直角三角形，得出BD=CD=AD=2，求出OB=1，OC=3，得出B坐標(biāo)為（-1，0），代入y=ax²-2ax+a+2求出a的值即可．

解答 解：連接AB、AC，如圖所示：
∵二次函數(shù)y=ax²-2ax+a+2=a（x-1）²+2，
∴頂點(diǎn)A（1，2），
∵二次函數(shù)圖象與x軸交于B、C兩點(diǎn)，D為BC的中點(diǎn)且AD=$\frac{1}{2}$BC，
∴AB=AC，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，
∴BD=CD=AD=2，
∴OB=1，OC=3，
∴B（-1，0），代入y=ax²-2ax+a+2得：a+2a+a+2=0，
解得：a=-$\frac{1}{2}$；
故答案為：-$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)、拋物線的頂點(diǎn)式、待定系數(shù)法、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)；證明△ABC是等腰直角三角形是解決問題的關(guān)鍵．