Question

17．已知，拋物線y=ax²+bx+4 與x軸交于點(diǎn)A（-3，0）和B（2，0），與y軸交于點(diǎn)C．
（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖1，若點(diǎn)D為CB的中點(diǎn)，將線段DB繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)G，當(dāng)點(diǎn)G恰好落在拋物線的對(duì)稱軸上時(shí)，求點(diǎn)G的坐標(biāo)；
（3）如圖2，若點(diǎn)D為直線BC或直線AC上的一點(diǎn)，E為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，拋物線
y=ax²+bx+4對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)F，使以B，D，F(xiàn)，E為頂點(diǎn)的四邊形為菱形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）把A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線解析式可求得a、b的值，可求得拋物線解析式；
（2）可設(shè)出G點(diǎn)坐標(biāo)，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可求得DG=DB，從而可列出方程，可求得G點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）分BE為對(duì)角線和BE為邊兩種情況，①當(dāng)BE為對(duì)角線時(shí)，則可知BE⊥DF，可知D為對(duì)稱軸與直線AC的交點(diǎn)，F(xiàn)為D點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)，可先求得直線AC的解析式，可求得D點(diǎn)坐標(biāo)，則容易求得F點(diǎn)坐標(biāo)；②當(dāng)BE為邊時(shí)，可利用直線BC或直線AC的解析式設(shè)出點(diǎn)D的坐標(biāo)，從而可表示出F點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用菱形的性質(zhì)可列出方程，從而可求得F點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答 解：
（1）∵拋物線y=ax²+bx+4 與x軸交于點(diǎn)A（-3，0）和B（2，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{9a-3b+4=0}\\{4a+2b+4=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{2}{3}}\\{b=-\frac{2}{3}}\end{array}\right.$，
∴拋物線解析式為y=-$\frac{2}{3}$x²-$\frac{2}{3}$x+4；

（2）由（1）可知拋物線的對(duì)稱軸為x=-$\frac{1}{2}$．
∴可設(shè)點(diǎn)G的坐標(biāo)為（-$\frac{1}{2}$，y），
∵點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，2），
在Rt△OBC中，BC=$\sqrt{O{B}^{2}+O{C}^{2}}$=2$\sqrt{5}$．
∴DB=$\frac{1}{2}$BC=$\sqrt{5}$，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，DG=DB，
∴（-$\frac{1}{2}$-1）²+（y-2）²=5，解得：y=2+$\frac{\sqrt{11}}{2}$或y=2-$\frac{\sqrt{11}}{2}$，
∴點(diǎn)G的坐標(biāo)為（-$\frac{1}{2}$，2+$\frac{\sqrt{11}}{2}$）或（-$\frac{1}{2}$，2-$\frac{\sqrt{11}}{2}$）．

（3）①當(dāng)BE為對(duì)角線時(shí)，因?yàn)榱庑蔚膶?duì)角線互相垂直平分，所以此時(shí)D即為對(duì)稱軸與AC的交點(diǎn)，F(xiàn)為點(diǎn)D關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)，
設(shè)直線AC解析式為y=kx+b，
∵C（0，4），A（-3，0）
∴$\left\{\begin{array}{l}b=4\\-3k+b=0\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}b=4\\ k=\frac{4}{3}\end{array}\right.$，
∴直線AC解析式為y=$\frac{4}{3}$x+4，
∴當(dāng)$x=-\frac{1}{2}$時(shí)，$y=\frac{10}{3}$，
∴D$（-\frac{1}{2}，\frac{10}{3}）$，
∴F$（-\frac{1}{2}，-\frac{10}{3}）$；
②當(dāng)BE為菱形的邊時(shí)，有DF∥BE
I）當(dāng)點(diǎn)D在直線BC上時(shí)，可求得直線BC解析式為y=-2x+4，
設(shè)D（a，-2a+4），則點(diǎn)F$（-\frac{1}{2}，-2a+4）$，
∵四邊形BDFE是菱形，
∴FD=DB，
∴$（a+\frac{1}{2}{）^2}={（a-2）^2}+{（-2a+4）^2}$，解得${a_1}=\frac{{21+5\sqrt{5}}}{8}$，${a_2}=\frac{{21-5\sqrt{5}}}{8}$，
∴F$（-\frac{1}{2}，\frac{{-5-5\sqrt{5}}}{4}）$或$（-\frac{1}{2}，\frac{{-5+5\sqrt{5}}}{4}）$；
II）當(dāng)點(diǎn)D在直線AC上時(shí)，
設(shè)D$（a，\frac{4}{3}a+4）$，則點(diǎn)F$（-\frac{1}{2}，\frac{4}{3}a+4）$，
∵四邊形BFDE是菱形，
∴FD=FB，
∴（a+$\frac{1}{2}$）²=（2+$\frac{1}{2}$）²+（$\frac{4}{3}$a+4）²，解得：a₁=-3（舍去），${a_2}=-\frac{66}{7}$，
∴F$（-\frac{1}{2}，-\frac{60}{7}）$，
綜上所述，點(diǎn)F的坐標(biāo)分別為$（-\frac{1}{2}，-\frac{10}{3}）$或$（-\frac{1}{2}，\frac{{-5-5\sqrt{5}}}{4}）$或$（-\frac{1}{2}，\frac{{-5+5\sqrt{5}}}{4}）$或$（-\frac{1}{2}，-\frac{60}{7}）$．

點(diǎn)評(píng) 本題為二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、二次函數(shù)的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)、待定系數(shù)法、勾股定理、菱形的判定和性質(zhì)、方程思想及分類討論思想等知識(shí)．在（1）中注意待定系數(shù)法的應(yīng)用，在（2）中確定出DG=DB是解題的關(guān)鍵，在（3）中確定出D點(diǎn)的位置是解題的關(guān)鍵，注意分情況討論．本題考查知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，難度較大．