Question

11．如圖，AB為⊙O的弦，AB=6，點(diǎn)C是⊙O上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且△ACB=45°，若點(diǎn)M、N分別是AB、BC的中點(diǎn)，求MN長(zhǎng)的最大值．

Answer 1

分析 根據(jù)中位線定理得到MN的最大時(shí)，AC最大，當(dāng)AC最大時(shí)是直徑，從而求得直徑后就可以求得最大值．

解答 解：∵點(diǎn)M，N分別是AB，BC的中點(diǎn)，
∴MN=$\frac{1}{2}$AC，
∴當(dāng)AC取得最大值時(shí)，MN就取得最大值，
當(dāng)AC是直徑時(shí)，最大，
如圖，
∵∠ACB=∠D=45°，AB=6，
∴AD=6$\sqrt{2}$，
∴MN=$\frac{1}{2}$AD=3$\sqrt{2}$；
故答案為：3$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角形的中位線定理、等腰直角三角形的性質(zhì)及圓周角定理，解題的關(guān)鍵是了解當(dāng)什么時(shí)候MN的值最大，難度不大．