Question

7．拋物線y=ax²+bx-4與x軸交于A、B兩點(diǎn)，（點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)）且A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分為（-2，0）、（8，0），與y軸交于點(diǎn)C，連接BC，以BC為一邊，點(diǎn)O為對稱中心作菱形BDEC，使其對角線在坐標(biāo)軸上，點(diǎn)P是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，0），過點(diǎn)P作x軸的垂線L交拋物線于點(diǎn)Q．
（1）求拋物線的解析式；
（2）試問拋物線上是否存在點(diǎn)N（不同于點(diǎn)C），使△OEN的面積等于△BOC的面積？若存在，請求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；
（3）當(dāng)點(diǎn)P在線段OB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線l交BD于點(diǎn)M．試探究m為何值時(shí)，四邊形CQMD是平行四邊形，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)待定系數(shù)法即可求得．
（2）由菱形的性質(zhì)可知，EO=BO，要使得△OEN的面積等于△BOC的面積，只要△OEN的高等于OC即可，分兩種情形計(jì)算即可①y=4時(shí)，②y=-4時(shí)．
（3）由菱形的對稱性可知，點(diǎn)D的坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法可求直線BD的解析式，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得關(guān)于m的方程，求得m的值；再根據(jù)平行四邊形的判定可得四邊形CQBM的形狀；

解答 解：（1）∵拋物線y=ax²+bx-4與x軸交于A（-2，0），B（8，0）兩點(diǎn)，
∴$\left\{\begin{array}{l}{4a-2b-4=0}\\{64a-8b-4=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{4}}\\{b=-\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
∴拋物線的解析式為：y=$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{2}$x-4；

（2）如圖1中，

由菱形的性質(zhì)可知，EO=BO，要使得△OEN的面積等于△BOC的面積，只要△OEN的高等于OC即可，
∵拋物線的解析式為：y=$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{2}$x-4，
∴C（0，-4）．
①當(dāng)y=4時(shí)，$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{2}$x-4=4，解得x=3-$\sqrt{41}$或3+$\sqrt{41}$，
∴點(diǎn)N坐標(biāo)為（3-$\sqrt{41}$，4）或（3+$\sqrt{41}$，4）．
②當(dāng)y=-4時(shí)，$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{2}$x-4=-4，解得x=6或0，
∵N不同于C，
∴N（6，-4），
∴符合條件的點(diǎn)N坐標(biāo)為（3-$\sqrt{41}$，4）或（3+$\sqrt{41}$，4）或（6，-4）．

（3）如圖2中，

∵C（0，-4）
∴由菱形的對稱性可知，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，4）．
設(shè)直線BD的解析式為y=kx+b，則$\left\{\begin{array}{l}{b=4}\\{8k+b=0}\end{array}\right.$，
解得k=-$\frac{1}{2}$，b=4．
∴直線BD的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+4．
∵l⊥x軸，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，-$\frac{1}{2}$m+4），點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（m，$\frac{1}{4}$m²-$\frac{3}{2}$m-4）．
如圖，當(dāng)MQ=DC時(shí)，四邊形CQMD是平行四邊形，
∴（-$\frac{1}{2}$m+4）-（ $\frac{1}{4}$m²-$\frac{3}{2}$m-4）=4-（-4）．
化簡得：m²-4m=0，
解得m₁=0（不合題意舍去），m₂=4．
∴當(dāng)m=4時(shí)，四邊形CQMD是平行四邊形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)綜合性，涉及的知識(shí)點(diǎn)有：坐標(biāo)軸上點(diǎn)的特點(diǎn)，菱形的對稱性，待定系數(shù)法求直線的解析式，平行四邊形的判定和性質(zhì)，方程思想和分類思想的運(yùn)用，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度，屬于中考?jí)狠S題．