Question

16．設有半徑為4km的圓形村落，A，B兩人同時從村落中心出發(fā)，B向北直行，A先向東直行，出村后不久，改變前進方向，沿著與村落周界相切的直線前進，后來恰與B相遇，設A，B兩人速度一定，其速度比為4：1，問兩人在何處相遇？

Answer 1

分析 如圖所示：設BO=x，OA=y，則AB=4x-y．在Rt△AOB中由勾股定理得：x²+y²=（4x-y）²，解得：y=$\frac{15x}{8}$，最后在△AOB中利用面積法可求得：x=$\frac{68}{15}$，從而可確定出兩人相遇出的位置．

解答 解：如圖所示：

設BO=x，OA=y，則AB=4x-y．
在Rt△AOB中，由勾股定理得：OB²+OA²=AB²，即x²+y²=（4x-y）²，
整理得：15x²-8xy=0．
解得：x=0（舍去），y=$\frac{15x}{8}$．
∴AB=4x-$\frac{15x}{8}$=$\frac{17x}{8}$．
∵AB是圓O的切線，
∴OC⊥AB．
∵$\frac{1}{2}OA•OB=\frac{1}{2}AB•OC$，
∴$\frac{1}{2}•x•\frac{15}{8}x=\frac{1}{2}×4×\frac{17}{8}x$．
解得：x=$\frac{68}{15}$．
答：兩人在距離村中心正北$\frac{68}{15}$千米處相遇．

點評 本題主要考查的是勾股定理、切線的性質，利用面積法求得x的值是解題的關鍵．