Question

11．平行四邊形ABCD周長為110cm，面積為600cm²，AB：BC=6：5，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，求：cos∠EDF．

Answer 1

分析 首先延長DF交AB的延長線于點H，設AB=6xcm，BC=5xcm，由平行四邊形ABCD周長為110cm，可求得各邊的長，又由AB：BC=6：5，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，求得DE與DF的長，繼而利用勾股定理求得AE，BE，CF的長，再利用相似三角形的對應邊成比例，求得BH的長，繼而求得DH的長，則可求得答案．

解答 解：延長DF交AB的延長線于點H，設AB=6xcm，BC=5xcm，
∵平行四邊形ABCD周長為110cm，
∴2（6x+5x）=110，
解得：x=5，
∴CD=AB=30cm，AD=BC=25cm，
∵平行四邊形ABCD面積為600cm²，
∴DE=20cm，DF=24cm，
∴CF=$\sqrt{C{D}^{2}-D{F}^{2}}$=18cm，AE=$\sqrt{A{D}^{2}-D{E}^{2}}$=15cm，
∴BF=BC-CF=7cm，BE=AB-AE=15cm，
∵AB∥CD，
∴△CDF∽△BHF，
∴$\frac{BH}{CD}=\frac{BF}{CF}$，
∴$\frac{BH}{30}=\frac{7}{18}$，
解得：BH=$\frac{35}{3}$cm，
∴EH=BE+BH=$\frac{80}{3}$cm，
∴DH=$\sqrt{D{E}^{2}+E{H}^{2}}$=$\frac{100}{3}$cm，
∴cos∠EDF=$\frac{DE}{DH}$=$\frac{3}{5}$．

點評 此題考查了平行四邊形的性質、相似三角形的判定與性質、銳角三角函數以及勾股定理等知識．注意掌握輔助線的作法是解此題的關鍵．