Question

12．已知二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象經(jīng)過點P（0，$-\frac{5}{2}$）、A（5，0）、B（1，0）．
（1）求該二次函數(shù)的解析式；
（2）點C在該二次函數(shù)的圖象上，當△ABC的面積為12時，求點C坐標；
（3）在（2）的條件下，求△ABC外接圓圓心點D的坐標．

Answer 1

分析 （1）已知二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象經(jīng)過點P（0，$-\frac{5}{2}$）、A（5，0）、B（1，0），根據(jù)待定系數(shù)法可求二次函數(shù)的解析式；
（2）設點C的坐標為（m，n），過點C作CH⊥x軸，垂足為H，由三角形的面積公式得n=±6，代入拋物線方程求得點C坐標；
（3）作線段AB、AC的中垂線交于點D，根據(jù)點的坐標特點即及拋物線的對稱軸可求D的坐標．

解答 解：（1）將P（0，$-\frac{5}{2}$）、A（5，0）、B（1，0）分別代入y=ax²+bx+c，得$\left\{\begin{array}{l}{c=-\frac{5}{2}}\\{25a+5b+c=0}\\{a+b+c=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{b=3}\\{c=-\frac{5}{2}}\end{array}\right.$．
則$y=-\frac{1}{2}{x^2}+3x-\frac{5}{2}$；                                           
（2）設點C的坐標為（m，n），如圖1，過點C作CH⊥x軸，垂足為H，
∵S_△ABC=12，
∴$\frac{1}{2}$AB•CH=12，即$\frac{1}{2}$×4×|n|=12，
解得n=±6，
當y=6時，-$\frac{1}{2}$x²+3x-$\frac{5}{2}$=6，沒有實數(shù)解，
當y=-6時，-$\frac{1}{2}$x²+3x-$\frac{5}{2}$=-6，解得x₁=-1，x₂=7，
∴C（7，-6）或C（-1，-6）；
（3）點C₁（7，-6）與C₂（-1，-6）關于拋物線的對稱軸對稱，△AB C₁與△ABC₂外接圓圓心是同一點，
以點C（7，-6）為例求解．
如圖2分別作AB、AC的中垂線交于點D，則D為△ABC外接圓的圓心，連接DB、DC，則DB=DC，
設D（3，y），
∵DB²=2²+y²，CD²=（y+6）²+4²
∴2²+y²=（y+6）²+4²，
解得y=-4，
∴D（3，-4），
∴△ABC外接圓的圓心D的坐標為（3，-4）．

點評 本題綜合考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，三角形外心的確定及坐標的求法，在拋物線中綜合面積問題，求滿足條件的點坐標等問題．