Question

20．如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=8，AD=6，點E在邊CD上，AE與BD相交于點F，∠EAD=∠ABD．
（1）求證：△ADE∽△BAD；
（2）設BD=x，DF=y，求：y關于x的函數(shù)解析式，并寫出x的取值范圍；
（3）當BF=9，求BC的長．

Answer 1

分析 （1）由已知條件可得梯形ABCD為等腰梯形，所以∠BAD=∠ADC，又因為∠EAD=∠ABD，所以可證明△ADE∽△BAD；
（2）由（1）可得AE=$\frac{3}{4}$x，易證△ADF∽△BDA，由相似三角形的性質可得AF=$\frac{48}{x}$，因為EF=AE-AF，進而可得y關于x的函數(shù)解析式，由三角形的三邊關系得出x的取值范圍即可；
（3）延長AE交BC的延長線為G，由△ADF∽△BDA，利用相似的性質可求出DF=3，由△ADE∽△BAD，利用相似三角形的性質可求出DE=4.5，再根據(jù)平行線分線段成比例定理即可求出BC的長．

解答 （1）證明：∵AB=CD，AD∥BC，
∴梯形ABCD為等腰梯形，
∴∠BAD=∠ADC，
∵∠EAD=∠ABD，∠ADC=∠BAD，
∴△ADE∽△BAD；
（2）解：∵△ADE∽△BAD，
∴AD：AB=AE：BD，
∴6：8=AE：x，
∴AE=$\frac{3}{4}$x，
∵∠EAD=∠ABD，∠ADF=∠BDA，
∴△ADF∽△BDA，
∴AF：AB=AD：BD，
∴AF：8=6：x，
∴AF=$\frac{48}{x}$，
∵EF=AE-AF，
∴y=$\frac{3}{4}$x-$\frac{48}{x}$（2＜x＜14）；
（3）解：延長AE交BC的延長線為G，
∵△ADF∽△BDA，
∴DF：AD=AD：BD，
∴DF：6=6：（DF+9），
∴DF=3，
∵△ADE∽△BAD，
∴DE：AD=AD：AB，
∴DE：6=6：8，
∴DE=4.5，
∵CD=8
∴DE：CE=4.5：（8-4.5）=9：7，
∵AD∥BG，
∴AD：CG=DE：CE，
∴6：CG=9：7，
∴CG=$\frac{14}{3}$，
∵AD∥BG
∴AD：BG=DF：BF，
∴6：（BC+$\frac{14}{3}$）=3：9，
∴BC=$\frac{40}{3}$．

點評 本題考查了相似形的綜合題，用到的知識點有等腰梯形的判定和性質、相似三角形的判定和性質、平行線分線段成比例定理，題目的綜合性較強，難度中等，解題的關鍵是正確作出圖形的輔助線，構造相似三角形，利用相似三角形的性質解答．