Question

11．如圖，在△ABC中，AD⊥BC于D，M、N分別是AB、AC的中點，連接DM、DN．
（1）若AB+AC=10，求四邊形AMDN的周長；
（2）連接MN，觀察并猜想，線段AD與線段MN有何位置關(guān)系？試說明你的猜想正確性．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)直角三角形斜邊上中線性質(zhì)得出AM=DM=$\frac{1}{2}$AB，DN=AN=$\frac{1}{2}$AC，根據(jù)AB+AC=10即可得出答案；
（2）根據(jù)AM=DM和AN=DN得出M、N都在AD的垂直平分線上，即可得出答案．

解答 解：（1）∵在△ABC中，AD⊥BC于D，M、N分別是AB、AC的中點，AB+AC=10，
∴AM=DM=$\frac{1}{2}$AB，DN=AN=$\frac{1}{2}$AC，
∴AM+DM+DN+AN=2AM+2AN=2×$\frac{1}{2}$（AB+AC）=10，
所以四邊形AMDN的周長為10；

（2）MN⊥AD，
理由是：∵AM=DM，AN=DN，
∴M、N都在AD的垂直平分線上，
∴MN⊥AD．

點評 本題考查了直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)，線段垂直平分線性質(zhì)的應(yīng)用，能正確利用地理進行推理是解此題的關(guān)鍵．